本稿には、2019年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕検定のサイズの算出
帰無仮説における確率密度関数は、 \begin{align} f_0 \left(x\right)=\frac{1}{\pi \left(1+x^2\right)} \end{align} 帰無仮説において、標本値が棄却域に入る確率は、 \begin{align} \alpha&=\int_{1}^{3}\frac{1}{\pi \left(1+x^2\right)}\\ &=\frac{1}{\pi} \left[\tan^{-1} \left(x\right)\right]_1^3\\ &=\frac{1}{\pi} \left\{\tan^{-1} \left(3\right)-\tan^{-1} \left(1\right)\right\}\\ &=\frac{1}{\pi} \left(1.249-\frac{\pi}{4}\right)\\ &=\frac{1.249}{3.1416}-\frac{1}{4}\\ &\cong0.148 \end{align} $\blacksquare$
〔2〕検出力の算出
対立仮説における確率密度関数は、 \begin{align} f_1 \left(x\right)=\frac{1}{\pi \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}} \end{align} 対立仮説において、標本値が棄却域に入る確率は、 \begin{align} 1-\beta&=\int_{1}^{3}\frac{1}{\pi \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}}\\ &=\frac{1}{\pi} \left[\tan^{-1} \left(x-1\right)\right]_1^3\\ &=\frac{1}{\pi} \left\{\tan^{-1} \left(2\right)-\tan^{-1} \left(0\right)\right\}\\ &=\frac{1}{3.1416} \left(1.107-0\right)\\ &\cong0.352 \end{align} $\blacksquare$
〔3〕尤度比の算出
尤度比の定義式より、 \begin{align} \lambda \left(x\right)&=\frac{\frac{1}{\pi \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}}}{\frac{1}{\pi \left(1+x^2\right)}}\\ &=\frac{1+x^2}{ \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}} \end{align} $x=1$ を代入すると、 \begin{align} \lambda \left(1\right)=\frac{1+1}{ \left\{1+ \left(1-1\right)^2\right\}}=2 \end{align} $x=3$ を代入すると、 \begin{align} \lambda \left(3\right)=\frac{1+9}{ \left\{1+ \left(3-1\right)^2\right\}}=2 \end{align} $\lambda \left(x\right)$ の1階微分を求めると、 \begin{align} \lambda^\prime \left(x\right)&=\frac{2x \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}- \left(1+x^2\right) \cdot 2 \left(x-1\right)}{ \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}^2}\\ &=\frac{2x+2x \left(x^2-2x+1\right)- \left(2x^3-2x^2+2x-2\right)}{ \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}^2}\\ &=-\frac{2x^2-2x-2}{ \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}^2}\\ &=-\frac{2 \left(x^2-x-1\right)}{ \left\{1+ \left(x-1\right)^2\right\}^2} \end{align} $\lambda^\prime \left(x\right)=0$ となる $x$ は、2次方程式の解の公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 \begin{align} x=\frac{1\pm\sqrt5}{2} \end{align} 増減表は、 \begin{array}{c|ccccc} x& \cdots & \frac{1-\sqrt5}{2}& \cdots & \frac{1+\sqrt5}{2}& \cdots & \\ \hline \lambda^\prime \left(x\right)& -& 0& +& 0& -& \\ \hline \lambda \left(x\right)& \searrow& \lambda \left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)& \nearrow& \lambda \left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)& \searrow& \\ \end{array} \begin{align} \lambda \left(1\right)=\lambda \left(3\right)=2 \end{align} グラフの概形を描くと、以下のようになる。 $\blacksquare$
〔4〕最強力検定の導出
本問の場合、2つの単純仮説による検定問題
\begin{align}
H_0:\theta=0 \quad H_1:\theta=1
\end{align}
を考えるにあたり、
大きさ$1$の標本 $X$ にもとづく $\theta$ の尤度関数と尤度比関数を以下のようにおいている。
\begin{gather}
L_i \left(\theta\right)=f_i \left(x\right)\\
\lambda \left(x\right)=\frac{f_1 \left(x\right)}{f_0 \left(x\right)}
\end{gather}
ネイマン・ピアソンの基本定理の内容は、「単純仮説の検定問題において、尤度比を用いた以下の棄却域と検定関数をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする最強力検定である」というものである。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;x\right)= \left\{\begin{matrix}\lambda \left(x\right) \lt k&\mathrm{0:Accept\ }H_0\\\lambda \left(x\right) \gt k&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
ただし、定数 $k$ は、$0 \lt k$ を満たし、
\begin{align}
P \left\{x\in R\middle|\theta=0\right\}=\alpha
\end{align}
本問の場合、〔3〕の結果より、$k=2$ とすると、
\begin{gather}
R= \left\{x:1 \lt x \lt 3\right\}\Rightarrow\lambda \left(x\right) \gt 2\Rightarrow\mathrm{1:Reject\ }H_0\\
R^C= \left\{x:x \le 1,3 \le x\right\}\Rightarrow\lambda \left(x\right) \lt 2\Rightarrow\mathrm{0:Accept\ }H_0
\end{gather}
すなわち、
$1 \lt x \lt 3$ においては、尤度比が2よりも大きいので帰無仮説を棄却
それ以外においては、尤度比が2よりも小さいので帰無仮説を保留
となる有意水準 $\alpha$ の最強力検定となる。
$\blacksquare$
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