さまざまな微分法

微分の定義より、 $$\begin{array}{c}{f}^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{c-c}{h}=0\end{array}$$ すなわち、定数関数の導関数は定数関数 $0$ となる。 $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{rl}{\left\{kf\left(x\right)\right\}}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{kf(x+h)-kf\left(x\right)}{h}\\ & =k\left[\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\right]\\ & =k{f}^{\prime }\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{rl}{\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\}}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{f(x+h)+g(x+h)\}-\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\\ & =f^{\prime }\left(x\right)+g^{\prime }\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{rl}{\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\}}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{f(x+h)-g(x+h)\}-\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}-\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\\ & =f^{\prime }\left(x\right)-g^{\prime }\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{rl}{\{f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\}}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g\left(x\right)\}+\{f(x+h)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g\left(x\right)}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)\{g(x+h)-g\left(x\right)\}}{h}+\underset{h\to 0}{lim}\frac{g\left(x\right)\{f(x+h)-f\left(x\right)\}}{h}\\ & =\left\{\underset{h\to 0}{lim}f(x+h)\right\}\left\{\underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\right\}+g\left(x\right)\left\{\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\right\}\\ & =f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\end{array}$$ $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{rl}{\left\{\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right\}}^{\prime }& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)\cdot g\left(x\right)-g(x+h)\cdot f\left(x\right)}{h\cdot g\left(x\right)\cdot g(x+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\{f(x+h)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\}-\{g(x+h)\cdot f\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\}}{h\cdot g\left(x\right)\cdot g(x+h)}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\left[\frac{1}{g\left(x\right)\cdot g(x+h)}\{\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\cdot g\left(x\right)-\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\cdot f\left(x\right)\}\right]\\ & =\left[\underset{h\to 0}{lim}\frac{1}{g\left(x\right)\cdot g(x+h)}\right][g\left(x\right)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}-f\left(x\right)\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}]\\ & =\frac{f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)}{{\left\{g\left(x\right)\right\}}^2}\end{array}$$ $◼$

合成関数 $y=f\left\{g\left(x\right)\right\}$ を $x$ で微分すると、微分の定義式より、 $$\begin{array}{}\text{(P1)}& \frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\left\{g(x+h)\right\}-f\left\{g\left(x\right)\right\}}{h}\end{array}$$ ここで、$g(x+h)=g\left(x\right)+u$ とおくと、 $$\begin{array}{c}\text{(P2)}& u=g(x+h)-g\left(x\right)\underset{h\to 0}{lim}u=\underset{h\to 0}{lim}[g(x+h)-g\left(x\right)]=g\left(x\right)-g\left(x\right)=0\end{array}$$ したがって、 $h\to 0$のとき$u\to 0$ さらに、$g\left(x\right)=t$ とおくと、式 $(\mathrm{P}1)$ は、 $$\begin{array}{c}\frac{dy}{dx}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f\{g\left(x\right)+u\}-f\left\{g\left(x\right)\right\}}{u}\cdot \frac{u}{h}\end{array}$$ 式 $(\mathrm{P}2)$ より、$u=g(x+h)-g\left(x\right)$ を戻して、 $$\begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\underset{h\to 0,u\to 0}{lim}[\frac{f(t+u)-f\left(t\right)}{u}\cdot \frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}]\\ & =\underset{u\to 0}{lim}\frac{f(t+u)-f\left(t\right)}{u}\cdot \underset{h\to 0}{lim}\frac{g(x+h)-g\left(x\right)}{h}\\ & =\frac{dy}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}\end{array}$$ $◼$

微分の定義より、 $$\begin{array}{c}\frac{dx}{dy}=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{g(y+\mathrm{\Delta }y)-g\left(y\right)}{\mathrm{\Delta }y}\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }y=f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)\\ g(y+\mathrm{\Delta }y)-g\left(y\right)=\mathrm{\Delta }x\end{array}$$ とすると、 $\mathrm{\Delta }y\to 0$のとき、$\mathrm{\Delta }x\to 0$ となるので、 $$\begin{array}{rl}\frac{dx}{dy}& =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\frac{1}{\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta }x}}\\ & =\frac{1}{f^{\prime }\left(x\right)}\end{array}$$ $◼$