確率母関数の定義と性質の証明

（I）確率母関数の定義式を和の記号を用いずに表すと、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)=f \left(0\right)+\theta \cdot f \left(1\right)+\theta^2 \cdot f \left(2\right)+ \cdots \tag{1} \end{align} 式 $(1)$ の両辺を $\theta$ で微分すると、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)=f \left(1\right)+2\theta \cdot f \left(2\right)+3\theta^2 \cdot f \left(2\right) \cdots \tag{2} \end{align} 式 $(2)$ に $\theta=0$ を代入すると、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(0\right)=f \left(1\right) \end{align} また、式 $(2)$ の両辺を $\theta$ で微分すると、 \begin{align} G_X^{ \left(2\right)} \left(\theta\right)=2 \cdot f \left(2\right)+6\theta \cdot f \left(2\right) \cdots \tag{4} \end{align} 式 $(3)$ に $\theta=0$ を代入すると、 \begin{gather} G_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)=2 \cdot f \left(2\right)\\ f \left(2\right)=\frac{G_X^{ \left(2\right)} \left(0\right)}{2} \end{gather} 以下同様に、両辺を $\theta$ で微分し、$k$ 階微分を求めて、得られた式に $\theta=0$ を代入すると、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{G_X^{ \left(x\right)} \left(0\right)}{x!} \end{align} $\blacksquare$

（II）確率母関数の定義式の1階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(1\right)} \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x\theta^{x-1} \cdot f \left(x\right)} \end{align} 以下、同様に、$k$ 階微分を求めると、 \begin{align} G_X^{ \left(k\right)} \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdots \left(x-k+1\right)\theta^{x-k} \cdot f \left(x\right)}\tag{4} \end{align} 式 $(4)$ に $\theta=1$ を代入すると、 \begin{align} G_X^{ \left(k\right)} \left(1\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{x \left(x-1\right) \cdots \left(x-k+1\right) \cdot f \left(x\right)} \end{align} 期待値の定義 $E \left[g \left(X\right)\right]=\sum_{-\infty}^{\infty}{g \left(x\right) \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} G_X^{ \left(k\right)} \left(1\right)=E \left[X \left(X-1\right) \cdots \left(X-k+1\right)\right] \end{align} $\blacksquare$

（III）確率母関数の定義式と指数法則より、 \begin{align} G_Y \left(\theta\right)&=E \left(\theta^Y\right)\\ &=E \left[\theta^{X_1+X_2+ \cdots +X_n}\right]\\ &=E \left[\theta^{X_1} \cdot \theta^{X_2} \cdots \theta^{X_n}\right] \end{align} 独立なときの期待値の性質 \begin{align} E \left[g \left(X_1\right)g \left(X_2\right) \cdots g \left(X_n\right)\right]=E \left[g \left(X_1\right)\right] \cdot E \left[g \left(X_2\right)\right] \cdots E \left[g \left(X_n\right)\right] \end{align} より、 \begin{align} G_Y \left(\theta\right)&=E \left[\theta^{X_1}\right] \cdot E \left[\theta^{X_2}\right] \cdots E \left[\theta^{X_n}\right]\\ &=G_{X_1} \left(\theta\right) \cdot G_{X_2} \left(\theta\right) \cdots G_{X_n} \left(\theta\right) \end{align} $\blacksquare$