確率母関数の定義と性質の証明

（I）確率母関数の定義式を和の記号を用いずに表すと、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& G_X\left(\theta \right)=f\left(0\right)+\theta \cdot f\left(1\right)+{\theta }^2\cdot f\left(2\right)+\cdots \end{array}$$ 式 $(1)$ の両辺を $\theta$ で微分すると、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& G_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)=f\left(1\right)+2\theta \cdot f\left(2\right)+3{\theta }^2\cdot f\left(2\right)\cdots \end{array}$$ 式 $(2)$ に $\theta =0$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}{G}_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=f\left(1\right)\end{array}$$ また、式 $(2)$ の両辺を $\theta$ で微分すると、 $$\begin{array}{}\text{(4)}& G_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)=2\cdot f\left(2\right)+6\theta \cdot f\left(2\right)\cdots \end{array}$$ 式 $(3)$ に $\theta =0$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}{G}_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=2\cdot f\left(2\right)\\ f\left(2\right)=\frac{G_X^{\left(2\right)}\left(0\right)}{2}\end{array}$$ 以下同様に、両辺を $\theta$ で微分し、$k$ 階微分を求めて、得られた式に $\theta =0$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{G_X^{\left(x\right)}\left(0\right)}{x!}\end{array}$$ $◼$

（II）確率母関数の定義式の1階微分を求めると、 $$\begin{array}{r}{G}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x{\theta }^{x-1}\cdot f\left(x\right)\end{array}$$ 以下、同様に、$k$ 階微分を求めると、 $$\begin{array}{}\text{(4)}& G_X^{\left(k\right)}\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdots (x-k+1){\theta }^{x-k}\cdot f\left(x\right)\end{array}$$ 式 $(4)$ に $\theta =1$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}{G}_X^{\left(k\right)}\left(1\right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdots (x-k+1)\cdot f\left(x\right)\end{array}$$ 期待値の定義 $E\left[g\left(X\right)\right]=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g\left(x\right)\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{G}_X^{\left(k\right)}\left(1\right)=E[X(X-1)\cdots (X-k+1)]\end{array}$$ $◼$

（III）確率母関数の定義式と指数法則より、 $$\begin{array}{rl}{G}_Y\left(\theta \right)& =E\left({\theta }^Y\right)\\ & =E\left[{\theta }^{X_1+X_2+\cdots +X_n}\right]\\ & =E[{\theta }^{X_1}\cdot {\theta }^{X_2}\cdots {\theta }^{X_n}]\end{array}$$ 独立なときの期待値の性質 $$\begin{array}{r}E[g\left(X_1\right)g\left(X_2\right)\cdots g\left(X_n\right)]=E\left[g\left(X_1\right)\right]\cdot E\left[g\left(X_2\right)\right]\cdots E\left[g\left(X_n\right)\right]\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rl}{G}_Y\left(\theta \right)& =E\left[{\theta }^{X_1}\right]\cdot E\left[{\theta }^{X_2}\right]\cdots E\left[{\theta }^{X_n}\right]\\ & =G_{X_1}\left(\theta \right)\cdot G_{X_2}\left(\theta \right)\cdots G_{X_n}\left(\theta \right)\end{array}$$ $◼$