二項分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（I）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X\left(\theta \right)=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{\theta }^x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{G}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=0}^n{\theta }^x\cdot {}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{\left(\theta p\right)}^x{(1-p)}^{1-x}\end{array}$$ 二項定理 ${(a+b)}^n=\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{a}^x{b}^{n-x}$ において、$a=\theta p,b=1-p$ とすると、 $$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)={(\theta p+1-p)}^n\end{array}$$ $◼$

（II）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{\theta x}\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(\theta \right)& =\sum _{x=0}^n{e}^{\theta x}\cdot {}_n{C}_x{p}^x{(1-p)}^{n-x}\\ & =\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{\left(e^{\theta }p\right)}^x{(1-p)}^{n-x}\end{array}$$ 二項定理 ${(a+b)}^n=\sum _{x=0}^n{}_n{C}_x{a}^x{b}^{n-x}$ において、$a=e^{\theta }p,b=1-p$ とすると、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)={(e^{\theta }p+1-p)}^n\end{array}$$ $◼$

二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立にベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ の和と考えると、 $$\begin{array}{r}Y=X_1+X_2+\cdots +X_n\end{array}$$ （I）確率母関数
ベルヌーイ分布の確率母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{G}_{X_i}\left(\theta \right)=\theta p+(1-p)\end{array}$$ 確率母関数の性質 $G_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n{G}_{X_i}\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{r}{G}_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n(\theta p+1-p)={(\theta p+1-p)}^n\end{array}$$ $◼$

（II）モーメント母関数
ベルヌーイ分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_{X_i}\left(\theta \right)=e^{\theta }p+(1-p)\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n{M}_{X_i}\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{r}{M}_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n(e^{\theta }p+1-p)={(e^{\theta }p+1-p)}^n\end{array}$$ $◼$