二項分布の確率母関数・モーメント母関数の導出

（I）確率母関数
確率母関数の定義式 $G_X \left(\theta\right)=\sum_{x=0}^{\infty}{\theta^x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{n}{\theta^x \cdot \ {}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x}}\\ &=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_x \left(\theta p\right)^x \left(1-p\right)^{1-x}} \end{align} 二項定理 $ \left(a+b\right)^n=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_xa^xb^{n-x}}$ において、$a=\theta p,b=1-p$ とすると、 \begin{align} G_X \left(\theta\right)= \left(\theta p+1-p\right)^n \end{align} $\blacksquare$

（II）モーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{e^{\theta x} \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)&=\sum_{x=0}^{n}e^{\theta x} \cdot {}_{n}C_xp^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ &=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_x \left(e^\theta p\right)^x \left(1-p\right)^{n-x}} \end{align} 二項定理 $ \left(a+b\right)^n=\sum_{x=0}^{n}{{}_{n}C_xa^xb^{n-x}}$ において、$a=e^\theta p,b=1-p$ とすると、 \begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(e^\theta p+1-p\right)^n \end{align} $\blacksquare$

二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立にベルヌーイ分布に従う確率変数 $X_i\ \left(i=1,2, \cdots ,n\right)$ の和と考えると、 \begin{align} Y=X_1+X_2+ \cdots +X_n \end{align} （I）確率母関数
ベルヌーイ分布の確率母関数の公式より、 \begin{align} G_{X_i} \left(\theta\right)=\theta p+ \left(1-p\right) \end{align} 確率母関数の性質 $G_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}{G_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} G_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n} \left(\theta p+1-p\right)= \left(\theta p+1-p\right)^n \end{align} $\blacksquare$

（II）モーメント母関数
ベルヌーイ分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_{X_i} \left(\theta\right)=e^\theta p+ \left(1-p\right) \end{align} モーメント母関数の性質 $M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}{M_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n} \left(e^\theta p+1-p\right)= \left(e^\theta p+1-p\right)^n \end{align} $\blacksquare$