二次方程式の解の公式-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

二次方程式の解の公式

公開日： 2022/12/14

本稿では、二次方程式の解の公式を導出しています。

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目次[非表示]

1.【公式】二次方程式の解の公式
- 1.1.導出
2.参考文献
3.関連記事

【公式】二次方程式の解の公式

【公式】
二次方程式の解の公式
Quadratic-Formula

$a (\neq 0), b, c$ を任意の実数として、二次方程式 $\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}$ の解は $\begin{matrix} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{matrix}$ で与えられる。

導出

与えられた二次方程式を平方完成すると、 $\begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c \\ = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c \end{aligned}$ したがって、この方程式の解は、 $\begin{matrix} a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = 0 \\ a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a} \\ {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a^{2} c}{4 a^{2}} \\ x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a^{2} c}}{2 a} \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a^{2} c}}{2 a} \end{matrix}$ $◼$

参考文献

松坂和夫著. 数学読本. 新装版, 岩波書店, 2019, p.101-102
二次方程式の解の公式の３通りの証明. 高校数学の美しい物語. 2022-07-09. https://manabitimes.jp/math/1064.

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