本稿では、二次方程式の解の公式を導出しています。
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【公式】二次方程式の解の公式
【公式】
二次方程式の解の公式
Quadratic-Formula
$a \left( \neq 0\right),b,c$ を任意の実数として、二次方程式 \begin{gather} ax^2+bx+c=0 \end{gather} の解は \begin{gather} x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{gather} で与えられる。
導出
導出
与えられた二次方程式を平方完成すると、 \begin{align} ax^2+bx+c&=a \left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c\\ &=a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \end{align} したがって、この方程式の解は、 \begin{gather} a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c=0\\ a \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4a^2c}{4a^2}\\ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4a^2c}}{2a}\\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a^2c}}{2a} \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本. 新装版, 岩波書店, 2019, p.101-102
- 二次方程式の解の公式の３通りの証明. 高校数学の美しい物語. 2022-07-09. https://manabitimes.jp/math/1064.
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