一様最強力検定

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【2023年4月4週】 【B000】数理統計学 【B080】統計的仮説検定

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本稿では、数理統計学における一様最強力検定についてまとめています。ネイマン・ピアソンの基本定理、単調尤度比の原理、不偏検定、相似検定の内容の紹介が含まれます。

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一様最強力検定

帰無仮説と対立仮説をそれぞれ H0:θΘ0H1:θΘ1 とする。 この仮説に対する有意水準 α の検定 φ の検出力関数を βφ(θ) としたとき、 有意水準 α の検定の他のどの検定 φ に対しても、すべての θΘ1βφ(θ)βφ(θ) が成り立つとき、 φ を有意水準 α一様最強力検定 uniformly most powerful test: UMP test という。

特にある特定の θ1Θ1 に対して βφ(θ)βφ(θ) が成り立つとき、 θ=θ1 に対して最強力検定 mostpowerful test: MP test という。

一様最強力検定を求めるということは、すべての θΘ0E[φ(X)]α という条件の下で、 βφ(θ)=E[φ(X)] をすべての θΘ1 で最大にする φ を見つけることと同じである。

ネイマン・ピアソンの基本定理

統計モデル {f(x:θ):θΘR} からの無作為標本を X={X1,X2,,Xn} とする。 パラメータ空間を Θ={θ0,θ1} とし、 帰無仮説と対立仮説を H0:θ=θ0H1:θ=θ1 とするとき、 k を正の定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 α の最強力検定である。 E[φ(X)]αφ(x)={f(x:θ0)>kf(x:θ1)0:Hold H0f(x:θ0)<kf(x:θ1)1:Reject H0

単調尤度比

f(x:θ) を確率関数または確率密度関数とすると、分布族 {f(x:θ):θΘR} について、 θ1,θ2Θθ1<θ2 ならば、 λ=f(x:θ2)f(x:θ1) がある関数 T(x) の単調増加関数であるならば、 その分布族は T(x) に関して単調尤度比 monotone likelihood ratio をもつという。

T(x) について単調減少であれば、T(x) について単調増加になるので上の定義で一般に T(x) は単調関数と考えられる。

ここでパラメータは認定可能とする。また f(x:θ1)=f(x:θ2)=0 となる x は除き、 f(x:θ1)=00<f(x:θ2) となる x では、尤度比の値は、 λ= とする。

1パラメータの指数型分布族 f(x;θ)=h(x)exp{c(θ)T(x)+d(θ)} において、 c(θ) が狭義の単調関数であれば、T(x) に関して単調尤度比をもつ。

単調尤度比をもつ統計モデルの一様最強力検定

T(x) に関する単調尤度比をもつ統計モデル {f(x:θ):θΘR} からの無作為標本を X={X1,X2,,Xn} とする。 帰無仮説と対立仮説を H0:θθ0H1:θ>θ0 とするとき、 c を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 α の一様最強力検定である。 E[φ(X)]=αφ(x)={T(x)>c0:Hold H0T(x)<c1:Reject H0 この検定の検出関数は単調増加である。

1パラメータの指数型分布族の一様最強力検定①

1パラメータの指数型分布族 {f(x:θ):θΘR} からの無作為標本を X={X1,X2,,Xn} とする。 帰無仮説と対立仮説を H0:θθ0H1:θ>θ0 とするとき、 f(x;θ)=h(x)exp{c(θ)T(x)+d(θ)} c(θ) が狭義の増加関数のとき、c を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 α の一様最強力検定である。 E[φ(X)]=αφ(x)={i=1nT(xi)>c0:Hold H0i=1nT(xi)<c1:Reject H0 c(θ) が狭義の減少関数のときは、不等号の向きを逆にする。

1パラメータの指数型分布族の一様最強力検定②

1パラメータの指数型分布族 {f(x:θ):θΘR} からの無作為標本を X={X1,X2,,Xn} とする。 帰無仮説と対立仮説を H0:θθ1orθθ2H1:θ1<θ<θ2 とするとき、 f(x;θ)=h(x)exp{c(θ)T(x)+d(θ)} c(θ) が狭義の増加関数のとき、c1,c2 を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 α の一様最強力検定である。 E{φ(X)|θ1}=E{φ(X)|θ2}=αφ(x)={i=1nT(xi)<c1orc2<i=1nT(xi)0:Hold H0c1<i=1nT(xi)<c21:Reject H0

不偏検定

帰無仮説と対立仮説をそれぞれ H0:θΘ0H1:θΘ1 の検定 φ で、 すべての θΘ0 で、 β(θ)α すべての θΘ1 で、 β(θ)α であるものを有意水準 α不偏検定 unbiased test という。 つまり、帰無仮説が正しくないときにそれを棄却する確率が、帰無仮説が正しいときにそれを棄却する確率よりも大きい検定が不偏検定である。

すべての大きさ α の不偏検定の中で、すべての θΘ1 に対して検出力が最大になるものを大きさ α一様最強力不偏検定 uniformly most powerful unbiased test という。

1パラメータの指数型分布族の一様最強力不偏検定①

1パラメータの指数型分布族 {f(x:θ):θΘR} からの無作為標本を X={X1,X2,,Xn} とする。 帰無仮説と対立仮説を H0:θ1θθ2H1:θ<θ1orθ>θ2 とするとき、 f(x;θ)=h(x)exp{c(θ)T(x)+d(θ)} c(θ) が狭義の増加関数のとき、c1,c2 を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 α の一様最強力不偏検定である。 E{φ(X)|θ1}=E{φ(X)|θ2}=αφ(x)={c1<i=1nT(xi)<c20:Hold H0i=1nT(xi)<c1orc2<i=1nT(xi)1:Reject H0

1パラメータの指数型分布族の一様最強力不偏検定②

1パラメータの指数型分布族 {f(x:θ):θΘR} からの無作為標本を X={X1,X2,,Xn} とする。 帰無仮説と対立仮説を H0:θ=θ0H1:θθ0 とするとき、 f(x;θ)=h(x)exp{c(θ)T(x)+d(θ)} c(θ) が狭義の増加関数のとき、c1,c2 を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 α の一様最強力不偏検定である。 E{φ(X)|θ0}=αE{i=1nT(xi)φ(X)|θ0}=E{i=1nT(xi)|θ0}αφ(x)={c1<i=1nT(xi)<c20:Hold H0i=1nT(xi)<c1orc2<i=1nT(xi)1:Reject H0

相似検定

パラメータ空間 Θ の空でない集合 ω で、すべての θω に対して β(θ)=E[φ(X)]=α となる検定を ω で大きさが α相似検定 similar test という。

ω で大きさが α の相似検定の中で一様最強力検定を大きさ α一様最強力相似検定 UMP similar test という。

相似検定と不偏検定の関係

ωΘ0Θ1 の空でない境界とし、検出力関数が連続である検定を考えたとき、ω で大きさが α の一様最強力相似検定 φ が有意水準 αH0:θΘ0H1:θΘ1 の検定であれば、それはまた有意水準 α の不偏検定である。

参考文献

  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.257-265
  • 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.168-188
  • 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.161-164
  • 黒木 学 著. 数理統計学:統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.188-202

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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