一様最強力検定

本稿では、数理統計学における一様最強力検定についてまとめています。ネイマン・ピアソンの基本定理、単調尤度比の原理、不偏検定、相似検定の内容の紹介が含まれます。

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一様最強力検定

帰無仮説と対立仮説をそれぞれ \begin{gather} H_0:\theta\in\Theta_0 \quad H_1:\theta\in\Theta_1 \end{gather} とする。 この仮説に対する有意水準 $\alpha$ の検定 $\varphi$ の検出力関数を \begin{align} \beta_\varphi \left(\theta\right) \end{align} としたとき、 有意水準 $\alpha$ の検定の他のどの検定 $\varphi^\ast$ に対しても、すべての $\theta\in\Theta_1$ で \begin{align} \beta_{\varphi^\ast} \left(\theta\right) \le \beta_\varphi \left(\theta\right) \end{align} が成り立つとき、 $\varphi$ を有意水準 $\alpha$ の一様最強力検定 uniformly most powerful test: UMP test という。

特にある特定の $\theta_1\in\Theta_1$ に対して \begin{align} \beta_{\varphi^\ast} \left(\theta\right) \le \beta_\varphi \left(\theta\right) \end{align} が成り立つとき、 \begin{align} \theta=\theta_1 \end{align} に対して最強力検定 mostpowerful test: MP test という。

一様最強力検定を求めるということは、すべての $\theta\in\Theta_0$ で \begin{align} E \left[\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\right] \le \alpha \end{align} という条件の下で、 \begin{align} \beta_\varphi \left(\theta\right)=E \left[\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\right] \end{align} をすべての $\theta\in\Theta_1$ で最大にする $\varphi$ を見つけることと同じである。

 

ネイマン・ピアソンの基本定理

統計モデル \begin{gather} \left\{f \left(\boldsymbol{x}:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とする。 パラメータ空間を \begin{gather} \Theta= \left\{\theta_0,\theta_1\right\} \end{gather} とし、 帰無仮説と対立仮説を \begin{gather} H_0:\theta=\theta_0 \quad H_1:\theta=\theta_1 \end{gather} とするとき、 $k$ を正の定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 $\alpha$ の最強力検定である。 \begin{gather} E \left[\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\right] \le \alpha\\ \varphi \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}f \left(\boldsymbol{x}:\theta_0\right) \gt kf \left(\boldsymbol{x}:\theta_1\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\f \left(\boldsymbol{x}:\theta_0\right) \lt kf \left(\boldsymbol{x}:\theta_1\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right. \end{gather}

 

単調尤度比

$f \left(x:\theta\right)$ を確率関数または確率密度関数とすると、分布族 \begin{gather} \left\{f \left(x:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} について、 \begin{gather} \theta_1,\theta_2\in\Theta \quad \theta_1 \lt \theta_2 \end{gather} ならば、 \begin{gather} \lambda=\frac{f \left(x:\theta_2\right)}{f \left(x:\theta_1\right)} \end{gather} がある関数 $T \left(x\right)$ の単調増加関数であるならば、 その分布族は $T \left(x\right)$ に関して単調尤度比 monotone likelihood ratio をもつという。

$T \left(x\right)$ について単調減少であれば、$-T \left(x\right)$ について単調増加になるので上の定義で一般に $T \left(x\right)$ は単調関数と考えられる。

ここでパラメータは認定可能とする。また \begin{gather} f \left(x:\theta_1\right)=f \left(x:\theta_2\right)=0 \end{gather} となる $x$ は除き、 \begin{gather} f \left(x:\theta_1\right)=0 \quad 0 \lt f \left(x:\theta_2\right) \end{gather} となる $x$ では、尤度比の値は、 \begin{gather} \lambda=\infty \end{gather} とする。

1パラメータの指数型分布族 \begin{gather} f \left(x;\theta\right)=h \left(x\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{c \left(\theta\right) \cdot T \left(x\right)+d \left(\theta\right)\right\} \end{gather} において、 $c \left(\theta\right)$ が狭義の単調関数であれば、$T \left(x\right)$ に関して単調尤度比をもつ。

 

単調尤度比をもつ統計モデルの一様最強力検定

$T \left(x\right)$ に関する単調尤度比をもつ統計モデル \begin{gather} \left\{f \left(\boldsymbol{x}:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とする。 帰無仮説と対立仮説を \begin{gather} H_0:\theta \le \theta_0 \quad H_1:\theta \gt \theta_0 \end{gather} とするとき、 $c$ を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 $\alpha$ の一様最強力検定である。 \begin{gather} E \left[\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\right]=\alpha\\ \varphi \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}T \left(\boldsymbol{x}\right) \gt c&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{x}\right) \lt c&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right. \end{gather} この検定の検出関数は単調増加である。

 

1パラメータの指数型分布族の一様最強力検定①

1パラメータの指数型分布族 \begin{gather} \left\{f \left(\boldsymbol{x}:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とする。 帰無仮説と対立仮説を \begin{gather} H_0:\theta \le \theta_0 \quad H_1:\theta \gt \theta_0 \end{gather} とするとき、 \begin{gather} f \left(x;\theta\right)=h \left(x\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{c \left(\theta\right) \cdot T \left(x\right)+d \left(\theta\right)\right\} \end{gather} $c \left(\theta\right)$ が狭義の増加関数のとき、$c$ を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 $\alpha$ の一様最強力検定である。 \begin{gather} E \left[\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\right]=\alpha\\ \varphi \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \gt c&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right. \end{gather} $c \left(\theta\right)$ が狭義の減少関数のときは、不等号の向きを逆にする。

 

1パラメータの指数型分布族の一様最強力検定②

1パラメータの指数型分布族 \begin{gather} \left\{f \left(\boldsymbol{x}:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とする。 帰無仮説と対立仮説を \begin{gather} H_0:\theta \le \theta_1 \quad \mathrm{or} \quad \theta \geq \theta_2\\ H_1:\theta_1 \lt \theta \lt \theta_2 \end{gather} とするとき、 \begin{gather} f \left(x;\theta\right)=h \left(x\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{c \left(\theta\right) \cdot T \left(x\right)+d \left(\theta\right)\right\} \end{gather} $c \left(\theta\right)$ が狭義の増加関数のとき、$c_1,c_2$ を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 $\alpha$ の一様最強力検定である。 \begin{gather} E \left\{\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\middle|\theta_1\right\}=E \left\{\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\middle|\theta_2\right\}=\alpha\\ \varphi \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c_1 \quad \mathrm{or} \quad c_2 \lt \sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\c_1 \lt \sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c_2&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right. \end{gather}

 

不偏検定

帰無仮説と対立仮説をそれぞれ \begin{gather} H_0:\theta\in\Theta_0 \quad H_1:\theta\in\Theta_1 \end{gather} の検定 $\varphi$ で、 すべての $\theta\in\Theta_0$ で、 \begin{gather} \beta \left(\theta\right) \le \alpha \end{gather} すべての $\theta\in\Theta_1$ で、 \begin{gather} \beta \left(\theta\right) \geq \alpha \end{gather} であるものを有意水準 $\alpha$ の不偏検定 unbiased test という。 つまり、帰無仮説が正しくないときにそれを棄却する確率が、帰無仮説が正しいときにそれを棄却する確率よりも大きい検定が不偏検定である。

すべての大きさ $\alpha$ の不偏検定の中で、すべての $\theta\in\Theta_1$ に対して検出力が最大になるものを大きさ $\alpha$ の一様最強力不偏検定 uniformly most powerful unbiased test という。

 

1パラメータの指数型分布族の一様最強力不偏検定①

1パラメータの指数型分布族 \begin{gather} \left\{f \left(\boldsymbol{x}:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とする。 帰無仮説と対立仮説を \begin{gather} H_0:\theta_1 \le \theta \le \theta_2\\ H_1:\theta \lt \theta_1 \quad \mathrm{or} \quad \theta \gt \theta_2 \end{gather} とするとき、 \begin{gather} f \left(x;\theta\right)=h \left(x\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{c \left(\theta\right) \cdot T \left(x\right)+d \left(\theta\right)\right\} \end{gather} $c \left(\theta\right)$ が狭義の増加関数のとき、$c_1,c_2$ を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 $\alpha$ の一様最強力不偏検定である。 \begin{gather} E \left\{\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\middle|\theta_1\right\}=E \left\{\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\middle|\theta_2\right\}=\alpha\\ \varphi \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}c_1 \lt \sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c_2&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c_1 \quad \mathrm{or} \quad c_2 \lt \sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right. \end{gather}

 

1パラメータの指数型分布族の一様最強力不偏検定②

1パラメータの指数型分布族 \begin{gather} \left\{f \left(\boldsymbol{x}:\theta\right):\theta\in\Theta\subset\boldsymbol{R}\right\} \end{gather} からの無作為標本を \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} とする。 帰無仮説と対立仮説を \begin{gather} H_0:\theta=\theta_0 \quad H_1:\theta \neq \theta_0 \end{gather} とするとき、 \begin{gather} f \left(x;\theta\right)=h \left(x\right) \cdot \mathrm{exp} \left\{c \left(\theta\right) \cdot T \left(x\right)+d \left(\theta\right)\right\} \end{gather} $c \left(\theta\right)$ が狭義の増加関数のとき、$c_1,c_2$ を定数として、次のような検定関数をもつ検定は有意水準 $\alpha$ の一様最強力不偏検定である。 \begin{gather} E \left\{\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\middle|\theta_0\right\}=\alpha\\ E \left\{\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right)\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\middle|\theta_0\right\}=E \left\{\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right)\middle|\theta_0\right\} \cdot \alpha\\ \varphi \left(\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}c_1 \lt \sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c_2&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\\sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right) \lt c_1 \quad \mathrm{or} \quad c_2 \lt \sum_{i=1}^{n}T \left(x_\boldsymbol{i}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right. \end{gather}

 

相似検定

パラメータ空間 $\Theta$ の空でない集合 $\omega$ で、すべての $\theta\in\omega$ に対して \begin{gather} \beta \left(\theta\right)=E \left[\varphi \left(\boldsymbol{X}\right)\right]=\alpha \end{gather} となる検定を $\omega$ で大きさが $\alpha$ の相似検定 similar test という。

$\omega$ で大きさが $\alpha$ の相似検定の中で一様最強力検定を大きさ $\alpha$ の一様最強力相似検定 UMP similar test という。

相似検定と不偏検定の関係

$\omega$ を $\Theta_0$ と $\Theta_1$ の空でない境界とし、検出力関数が連続である検定を考えたとき、$\omega$ で大きさが $\alpha$ の一様最強力相似検定 $\varphi$ が有意水準 $\alpha$ の \begin{gather} H_0:\theta\in\Theta_0 \quad H_1:\theta\in\Theta_1 \end{gather} の検定であれば、それはまた有意水準 $\alpha$ の不偏検定である。

 

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.257-265
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.168-188
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.161-164
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.188-202

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