分散の基本性質の証明

期待値の性質 $E\left(a\right)=a,E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$ より、$X=c$ として、 $$\begin{array}{rl}V\left(c\right)& =E\left[{\{c-E\left(c\right)\}}^2\right]\\ & =E\left[{(c-c)}^2\right]\\ & =E\left(0\right)\\ & =0\end{array}$$ $◼$

期待値の性質 $E\left(a\right)=a,E(aX+b)=aE\left(X\right)+b$ より、 $$\begin{array}{rl}V(aX+b)& =E\left[{\{aX+b-E(aX+b)\}}^2\right]\\ & =E\left[{\{aX+b-aE\left(X\right)-b\}}^2\right]\\ & =E\left[a^2{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]\\ & =a^{2}E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]\end{array}$$ 分散の定義式 $V\left(X\right)=E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]$ より、 $$\begin{array}{r}V(aX+b)=a^{2}V\left(X\right)\end{array}$$ $◼$

任意の自然数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。以下、 $$\begin{array}{c}E\left(X_i\right)={\mu }_i\end{array}$$ とおく。

（i）$n=1$ のとき $$\begin{array}{r}V\left(X\right)=V\left(X\right)\end{array}$$ となり、命題は成り立つ。

（ii）$n=2$ のとき
分散の定義式 $V\left(X\right)=E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]$ より、 $$\begin{array}{rl}V(X_1+X_2)& =E\left[{\{X_1+X_2-E(X_1+X_2)\}}^2\right]\\ & =E\left[{(X_1+X_2-{\mu }_1-{\mu }_2)}^2\right]\\ & =E\left[{\{(X_1-{\mu }_1)+(X_2-{\mu }_2)\}}^2\right]\\ & =E[{(X_1-{\mu }_1)}^2+2(X_1-{\mu }_1)(X_2-{\mu }_2)+{(X_2-{\mu }_2)}^2]\\ & =E\left[{(X_1-{\mu }_1)}^2\right]+2E\left[(X_1-{\mu }_1)(X_2-{\mu }_2)\right]+E\left[{(X_2-{\mu }_2)}^2\right]\end{array}$$ 分散の定義式 $V\left(X\right)=E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]$ より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& V(X_1+X_2)=V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)+2E\left[(X_1-{\mu }_1)(X_2-{\mu }_2)\right]\end{array}$$ 独立なときの期待値の性質 $E\left\{g\left(X\right)h\left(Y\right)\right\}=E\left\{g\left(X\right)\right\}E\left\{h\left(Y\right)\right\}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left[(X_1-{\mu }_1)(X_2-{\mu }_2)\right]& =E(X_1-{\mu }_1)E(X_2-{\mu }_2)\\ & =\{E\left(X_1\right)-{\mu }_1\}\{E\left(X_2\right)-{\mu }_2\}\\ & =\{{\mu }_1-{\mu }_1\}\{{\mu }_2-{\mu }_2\}\\ \text{(2)}& & =0\end{array}$$ したがって、式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{r}V(X_1+X_2)=V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)\end{array}$$ となり、命題は成り立つ。 （iii）$n=k$ のときに命題が成り立つ、すなわち、 $$\begin{array}{r}V(X_1+X_2+\cdots +X_k)=V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)+\cdots +V\left(X_k\right)\end{array}$$ を仮定する。 このとき、$Y=X_1+X_2+\cdots +X_k$ とすると、 $$\begin{array}{r}V(X_1+X_2+\cdots +X_k+X_{k+1})=V(Y+X_{k+1})\end{array}$$ （ii）の結果より、 $$\begin{array}{rl}V(X_1+X_2+\cdots +X_k+X_{k+1})& =V\left(Y\right)+V\left(X_{k+1}\right)\\ & =V\left(X_1\right)+V\left(X_2\right)+\cdots +V\left(X_k\right)+V\left(X_{k+1}\right)\end{array}$$ となり、命題は成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ に対し、命題は成り立つ。 $◼$

分散の定義式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =E\left[{\{X-E\left(X\right)\}}^2\right]\\ & =E[X^2-2XE\left(X\right)+{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2]\\ & =E\left[X^2\right]-2E\left(X\right)E\left(X\right)+{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2\\ & =E\left[X^2\right]-2{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2+{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2\\ & =E\left[X^2\right]-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2\end{array}$$ $◼$