本稿では、分散の基本性質を証明しています。定数関数の分散、線形変換の分散、確率変数が互いに独立なときの加法性、分散の公式（2乗の期待値と期待値の2乗の差で算出できる）が含まれます。
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【定理】分散の基本性質
【定理】
分散の基本性質
Basic Properties of Variance
確率変数 \begin{gather} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{gather} の分散について、 \begin{gather} a \quad b \quad c \end{gather} を定数として、以下の式が成り立つ。
（i）定数関数の分散
\begin{align}
V \left(c\right)=0
\end{align}
（ii）線形変換の分散
\begin{align}
V \left(aX+b\right)=a^2V \left(X\right)
\end{align}
（iii）確率変数が互いに独立なときの加法性
確率変数が互いに独立ならば、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2+ \cdots +X_n\right)=V \left(X_1\right)+V \left(X_2\right)+ \cdots +V \left(X_n\right)
\end{align}
和の記号を用いて表現すると、
\begin{align}
V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)
\end{align}
証明：定数関数の分散
期待値の性質 $E \left(a\right)=a,E \left(aX+b\right)=aE \left(X\right)+b$ より、$X=c$ として、 \begin{align} V \left(c\right)&=E \left[ \left\{c-E \left(c\right)\right\}^2\right]\\ &=E \left[ \left(c-c\right)^2\right]\\ &=E \left(0\right)\\ &=0 \end{align} $\blacksquare$
証明：線形変換の分散
期待値の性質 $E \left(a\right)=a,E \left(aX+b\right)=aE \left(X\right)+b$ より、 \begin{align} V \left(aX+b\right)&=E \left[ \left\{aX+b-E \left(aX+b\right)\right\}^2\right]\\ &=E \left[ \left\{aX+b-aE \left(X\right)-b\right\}^2\right]\\ &=E \left[a^2 \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]\\ &=a^2E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right] \end{align} 分散の定義式 $V \left(X\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]$ より、 \begin{align} V \left(aX+b\right)=a^2V \left(X\right) \end{align} $\blacksquare$
証明：確率変数が互いに独立なときの加法性
任意の自然数 $n$ に関する数学的帰納法によって示す。以下、 \begin{gather} E \left(X_i\right)=\mu_i \end{gather} とおく。
（i）$n=1$ のとき \begin{align} V \left(X\right)=V \left(X\right) \end{align} となり、命題は成り立つ。
（ii）$n=2$ のとき
分散の定義式 $V \left(X\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]$ より、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2\right)&=E \left[ \left\{X_1+X_2-E \left(X_1+X_2\right)\right\}^2\right]\\
&=E \left[ \left(X_1+X_2-\mu_1-\mu_2\right)^2\right]\\
&=E \left[ \left\{ \left(X_1-\mu_1\right)+ \left(X_2-\mu_2\right)\right\}^2\right]\\
&=E \left[ \left(X_1-\mu_1\right)^2+2 \left(X_1-\mu_1\right) \left(X_2-\mu_2\right)+ \left(X_2-\mu_2\right)^2\right]\\
&=E \left[ \left(X_1-\mu_1\right)^2\right]+2E \left[ \left(X_1-\mu_1\right) \left(X_2-\mu_2\right)\right]+E \left[ \left(X_2-\mu_2\right)^2\right]\\
\end{align}
分散の定義式 $V \left(X\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]$ より、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2\right)=V \left(X_1\right)+V \left(X_2\right)+2E \left[ \left(X_1-\mu_1\right) \left(X_2-\mu_2\right)\right]\tag{1}
\end{align}
独立なときの期待値の性質 $E \left\{g \left(X\right)h \left(Y\right)\right\}=E \left\{g \left(X\right)\right\}E \left\{h \left(Y\right)\right\}$ より、
\begin{align}
E \left[ \left(X_1-\mu_1\right) \left(X_2-\mu_2\right)\right]&=E \left(X_1-\mu_1\right)E \left(X_2-\mu_2\right)\\
&= \left\{E \left(X_1\right)-\mu_1\right\} \left\{E \left(X_2\right)-\mu_2\right\}\\
&= \left\{\mu_1-\mu_1\right\} \left\{\mu_2-\mu_2\right\}\\
&=0\tag{2}
\end{align}
したがって、式 $(1),(2)$ より、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2\right)=V \left(X_1\right)+V \left(X_2\right)
\end{align}
となり、命題は成り立つ。
（iii）$n=k$ のときに命題が成り立つ、すなわち、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2+ \cdots +X_k\right)=V \left(X_1\right)+V \left(X_2\right)+ \cdots +V \left(X_k\right)
\end{align}
を仮定する。
このとき、$Y=X_1+X_2+ \cdots +X_k$ とすると、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2+ \cdots +X_k+X_{k+1}\right)=V \left(Y+X_{k+1}\right)
\end{align}
（ii）の結果より、
\begin{align}
V \left(X_1+X_2+ \cdots +X_k+X_{k+1}\right)&=V \left(Y\right)+V \left(X_{k+1}\right)\\
&=V \left(X_1\right)+V \left(X_2\right)+ \cdots +V \left(X_k\right)+V \left(X_{k+1}\right)\\
\end{align}
となり、命題は成り立つ。
したがって、数学的帰納法により、任意の自然数 $n$ に対し、命題は成り立つ。 $\blacksquare$
【公式】分散の公式
【公式】
分散の公式
Variance Formula
確率変数 $X$ の期待値 $E \left(X\right)$ と $X^2$ の期待値 $E \left(X^2\right)$、分散 $V \left(X\right)$ の間には \begin{align} V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2\\ E \left(X^2\right)=V \left(X\right)+ \left\{E \left(X\right)\right\}^2 \end{align} という関係式が成り立つ。
証明：分散の公式
分散の定義式を変形すると、 \begin{align} V \left(X\right)&=E \left[ \left\{X-E \left(X\right)\right\}^2\right]\\ &=E \left[X^2-2XE \left(X\right)+ \left\{E \left(X\right)\right\}^2\right]\\ &=E \left[X^2\right]-2E \left(X\right)E \left(X\right)+ \left\{E \left(X\right)\right\}^2\\ &=E \left[X^2\right]-2 \left\{E \left(X\right)\right\}^2+ \left\{E \left(X\right)\right\}^2\\ &=E \left[X^2\right]- \left\{E \left(X\right)\right\}^2 \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.29-30
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.74-76
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