本稿には、2014年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕条件付き確率の応用
確率変数 $U,V,W$ それぞれの確率密度関数と累積分布関数は、 \begin{gather} f_U \left(u\right)=f_V \left(v\right)=f_W \left(w\right)= \left\{\begin{matrix}1&0 \le u,v,w \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ \begin{matrix}F_U \left(u\right)=u&0 \le u \le 1\\\end{matrix}\\ \begin{matrix}F_V \left(v\right)=v&0 \le v \le 1\\\end{matrix}\\ \begin{matrix}F_W \left(w\right)=w&0 \le w \le 1\\\end{matrix}\\ \end{gather} $\alpha=2,\beta=3$ のとき、 \begin{gather} X=U^2 \quad Y=V^3\\ P \left(X \gt Y\right)=P \left(U^2 \gt V^3\right) \end{gather} $U=u$ が与えられた下での条件付き確率は、 \begin{align} P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)&=P \left(u^2 \gt V^3\right)\\ &=P \left(V \lt u^\frac{2}{3}\right) \end{align} この式の右辺を $V$ の累積分布関数としてみると、 \begin{align} P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)&=F_V \left(u^\frac{2}{3}\right)\\ &=u^\frac{2}{3} \end{align} この確率を $0 \le u \le 1$ の範囲で積分すると、 \begin{align} P \left(X \gt Y\right)&=\int_{0}^{1}{P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)du}\\ &=\int_{0}^{1}{u^\frac{2}{3}du}\\ &=\frac{3}{5} \left[u^\frac{5}{3}\right]_0^1\\ &=\frac{3}{5} \end{align} $\blacksquare$
〔2〕任意の確率変数が最大となる確率：具体例
$X$ が $X,Y,Z$ の中で最大となる事象は、 $X \gt Y$ かつ $X \gt Z$ となる事象 であるから、この事象が観測される確率を求めればよい。
$X \gt Y$ となる確率については、〔1〕の考え方に倣うと、 \begin{align} P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)&=P \left(u^\alpha \gt V^\beta\right)\\ &=P \left(V \lt u^\frac{\alpha}{\beta}\right)\\ &=u^\frac{\alpha}{\beta} \end{align} \begin{align} P \left(X \gt Y\right)&=\int_{0}^{1}{u^\frac{\alpha}{\beta}du}\\ &=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \left[u^\frac{\alpha+\beta}{\beta}\right]_0^1\\ &=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \end{align} 同様に、$X \gt Z$ となる確率については、 \begin{align} P \left(X \gt Z\middle| U=u\right)&=P \left(u^\alpha \gt W^\gamma\right)\\ &=P \left(W \lt u^\frac{\alpha}{\gamma}\right)\\ &=u^\frac{\alpha}{\gamma} \end{align} \begin{align} P \left(X \gt Z\right)&=\int_{0}^{1}{u^\frac{\alpha}{\gamma}du}\\ &=\frac{\gamma}{\alpha+\gamma} \left[u^\frac{\alpha+\gamma}{\beta}\right]_0^1\\ &=\frac{\gamma}{\alpha+\gamma} \end{align} したがって、 \begin{align} P \left\{X=\mathrm{max} \left(X,Y,Z\right)\right\}&=P \left\{ \left(X \gt Y\right) \cap \left(X \gt Z\right)\right\}\\ &=P \left(X \gt Y\right) \cdot P \left(X \gt Z\right)\\ &=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \cdot \frac{\gamma}{\alpha+\gamma}\\ &=\frac{\beta\gamma}{ \left(\alpha+\beta\right) \left(\alpha+\gamma\right)} \end{align} $\blacksquare$
〔3〕任意の確率変数が最大となる確率：一般化
〔2〕と同様に、一般の $\alpha_i$ に対し、$X_1$ が $X_1,X_2, \cdots ,X_n$ の中で最大となる事象は、 $X_1 \gt X_2$ かつ … かつ $X_1 \gt X_n$ となる事象 であるから、この事象が観測される確率を求めればよい。
一般に $X_1 \gt X_i \left(i=2,3, \cdots ,n\right)$ となる確率は、 \begin{align} P \left(X_1 \gt X_i\middle| X_1=x_1\right)&=P \left(x_1^{\alpha_1} \gt X_i^{\alpha_i}\right)\\ &=P \left(X_i \lt x_1^{\frac{\alpha_1}{\alpha_i}}\right)\\ &=x_1^{\frac{\alpha_1}{\alpha_i}} \end{align} \begin{align} P \left(X_1 \gt X_i\right)&=\int_{0}^{1}{x_1^{\frac{\alpha_1}{\alpha_i}}dx_1}\\ &=\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\alpha_i} \left[x_1^{\frac{\alpha_1+\alpha_i}{\alpha_i}}\right]_0^1\\ &=\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\alpha_i} \end{align} したがって、 \begin{align} P \left\{X_1=\mathrm{max} \left(X_1,X_2, \cdots ,X_n\right)\right\}&=P \left\{ \left(X_1 \gt X_2\right) \cap \cdots \cap \left(X_1 \gt X_n\right)\right\}\\ &=P \left(X_1 \gt X_2\right) \cdots P \left(X_1 \gt X_n\right)\\ &=\frac{\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2} \cdots \frac{\alpha_n}{\alpha_1+\alpha_n}\\ &=\prod_{i=2}^{n}\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\alpha_i} \end{align} $\blacksquare$
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