統計検定 1級 2014年 統計数理 問1 連続一様分布に従う確率変数の最大値

本稿には、2014年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕条件付き確率の応用

確率変数 $U,V,W$ それぞれの確率密度関数と累積分布関数は、 $$\begin{array}{c}{f}_U\left(u\right)=f_V\left(v\right)=f_W\left(w\right)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le u,v,w\le 1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\\ \begin{array}{cc}{F}_U\left(u\right)=u& 0\le u\le 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}{F}_V\left(v\right)=v& 0\le v\le 1\end{array}\\ \begin{array}{cc}{F}_W\left(w\right)=w& 0\le w\le 1\end{array}\end{array}$$ $\alpha =2,\beta =3$ のとき、 $$\begin{array}{c}X=U^{2}Y=V^3\\ P(X>Y)=P(U^2>V^3)\end{array}$$ $U=u$ が与えられた下での条件付き確率は、 $$\begin{array}{rl}P(X>Y|U=u)& =P(u^2>V^3)\\ & =P(V<u^{\frac{2}{3}})\end{array}$$ この式の右辺を $V$ の累積分布関数としてみると、 $$\begin{array}{rl}P(X>Y|U=u)& =F_V\left(u^{\frac{2}{3}}\right)\\ & =u^{\frac{2}{3}}\end{array}$$ この確率を $0\le u\le 1$ の範囲で積分すると、 $$\begin{array}{rl}P(X>Y)& ={\int }_0^{1}P(X>Y|U=u)du\\ & ={\int }_0^1{u}^{\frac{2}{3}}du\\ & =\frac{3}{5}{\left[u^{\frac{5}{3}}\right]}_0^1\\ & =\frac{3}{5}\end{array}$$ $◼$

〔2〕任意の確率変数が最大となる確率：具体例

$X$ が $X,Y,Z$ の中で最大となる事象は、 $X>Y$ かつ $X>Z$ となる事象 であるから、この事象が観測される確率を求めればよい。

$X>Y$ となる確率については、〔1〕の考え方に倣うと、 $$\begin{array}{rl}P(X>Y|U=u)& =P(u^{\alpha }>V^{\beta })\\ & =P(V<u^{\frac{\alpha }{\beta }})\\ & =u^{\frac{\alpha }{\beta }}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P(X>Y)& ={\int }_0^1{u}^{\frac{\alpha }{\beta }}du\\ & =\frac{\beta }{\alpha +\beta }{\left[u^{\frac{\alpha +\beta }{\beta }}\right]}_0^1\\ & =\frac{\beta }{\alpha +\beta }\end{array}$$ 同様に、$X>Z$ となる確率については、 $$\begin{array}{rl}P(X>Z|U=u)& =P(u^{\alpha }>W^{\gamma })\\ & =P(W<u^{\frac{\alpha }{\gamma }})\\ & =u^{\frac{\alpha }{\gamma }}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P(X>Z)& ={\int }_0^1{u}^{\frac{\alpha }{\gamma }}du\\ & =\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }{\left[u^{\frac{\alpha +\gamma }{\beta }}\right]}_0^1\\ & =\frac{\gamma }{\alpha +\gamma }\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}P\{X=\max (X,Y,Z)\}& =P\{(X>Y)\cap (X>Z)\}\\ & =P(X>Y)\cdot P(X>Z)\\ & =\frac{\beta }{\alpha +\beta }\cdot \frac{\gamma }{\alpha +\gamma }\\ & =\frac{\beta \gamma }{(\alpha +\beta )(\alpha +\gamma )}\end{array}$$ $◼$

〔3〕任意の確率変数が最大となる確率：一般化

〔2〕と同様に、一般の ${\alpha }_i$ に対し、$X_1$ が $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ の中で最大となる事象は、 $X_1>X_2$ かつ … かつ $X_1>X_n$ となる事象 であるから、この事象が観測される確率を求めればよい。

一般に $X_1>X_i(i=2,3,\cdots ,n)$ となる確率は、 $$\begin{array}{rl}P(X_1>X_i|X_1=x_1)& =P(x_1^{{\alpha }_1}>X_i^{{\alpha }_i})\\ & =P(X_i<x_1^{\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_i}})\\ & =x_1^{\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_i}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P(X_1>X_i)& ={\int }_0^1{x}_1^{\frac{{\alpha }_1}{{\alpha }_i}}d{x}_1\\ & =\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_1+{\alpha }_i}{\left[x_1^{\frac{{\alpha }_1+{\alpha }_i}{{\alpha }_i}}\right]}_0^1\\ & =\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_1+{\alpha }_i}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}P\{X_1=\max (X_1,X_2,\cdots ,X_n)\}& =P\{(X_1>X_2)\cap \cdots \cap (X_1>X_n)\}\\ & =P(X_1>X_2)\cdots P(X_1>X_n)\\ & =\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1+{\alpha }_2}\cdots \frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_1+{\alpha }_n}\\ & =\prod _{i=2}^n\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_1+{\alpha }_i}\end{array}$$ $◼$

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