統計検定 1級 2014年 統計数理 問1 連続一様分布に従う確率変数の最大値

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【2023年5月3週】 【B000】数理統計学 【D000】統計検定 過去問

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本稿には、2014年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

  • 著作権の関係上、問題文は、掲載することができません。申し訳ありませんが、閲覧者のみなさまでご用意いただければ幸いです。
  • この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
  • 計算ミスや誤字・脱字などがありましたら、コメントなどでご指摘いただければ大変助かります。
  • スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

〔1〕条件付き確率の応用

確率変数 $U,V,W$ それぞれの確率密度関数と累積分布関数は、 \begin{gather} f_U \left(u\right)=f_V \left(v\right)=f_W \left(w\right)= \left\{\begin{matrix}1&0 \le u,v,w \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.\\ \begin{matrix}F_U \left(u\right)=u&0 \le u \le 1\\\end{matrix}\\ \begin{matrix}F_V \left(v\right)=v&0 \le v \le 1\\\end{matrix}\\ \begin{matrix}F_W \left(w\right)=w&0 \le w \le 1\\\end{matrix}\\ \end{gather} $\alpha=2,\beta=3$ のとき、 \begin{gather} X=U^2 \quad Y=V^3\\ P \left(X \gt Y\right)=P \left(U^2 \gt V^3\right) \end{gather} $U=u$ が与えられた下での条件付き確率は、 \begin{align} P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)&=P \left(u^2 \gt V^3\right)\\ &=P \left(V \lt u^\frac{2}{3}\right) \end{align} この式の右辺を $V$ の累積分布関数としてみると、 \begin{align} P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)&=F_V \left(u^\frac{2}{3}\right)\\ &=u^\frac{2}{3} \end{align} この確率を $0 \le u \le 1$ の範囲で積分すると、 \begin{align} P \left(X \gt Y\right)&=\int_{0}^{1}{P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)du}\\ &=\int_{0}^{1}{u^\frac{2}{3}du}\\ &=\frac{3}{5} \left[u^\frac{5}{3}\right]_0^1\\ &=\frac{3}{5} \end{align} $\blacksquare$

〔2〕任意の確率変数が最大となる確率:具体例

$X$ が $X,Y,Z$ の中で最大となる事象は、 $X \gt Y$ かつ $X \gt Z$ となる事象 であるから、この事象が観測される確率を求めればよい。

$X \gt Y$ となる確率については、〔1〕の考え方に倣うと、 \begin{align} P \left(X \gt Y\middle| U=u\right)&=P \left(u^\alpha \gt V^\beta\right)\\ &=P \left(V \lt u^\frac{\alpha}{\beta}\right)\\ &=u^\frac{\alpha}{\beta} \end{align} \begin{align} P \left(X \gt Y\right)&=\int_{0}^{1}{u^\frac{\alpha}{\beta}du}\\ &=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \left[u^\frac{\alpha+\beta}{\beta}\right]_0^1\\ &=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \end{align} 同様に、$X \gt Z$ となる確率については、 \begin{align} P \left(X \gt Z\middle| U=u\right)&=P \left(u^\alpha \gt W^\gamma\right)\\ &=P \left(W \lt u^\frac{\alpha}{\gamma}\right)\\ &=u^\frac{\alpha}{\gamma} \end{align} \begin{align} P \left(X \gt Z\right)&=\int_{0}^{1}{u^\frac{\alpha}{\gamma}du}\\ &=\frac{\gamma}{\alpha+\gamma} \left[u^\frac{\alpha+\gamma}{\beta}\right]_0^1\\ &=\frac{\gamma}{\alpha+\gamma} \end{align} したがって、 \begin{align} P \left\{X=\mathrm{max} \left(X,Y,Z\right)\right\}&=P \left\{ \left(X \gt Y\right) \cap \left(X \gt Z\right)\right\}\\ &=P \left(X \gt Y\right) \cdot P \left(X \gt Z\right)\\ &=\frac{\beta}{\alpha+\beta} \cdot \frac{\gamma}{\alpha+\gamma}\\ &=\frac{\beta\gamma}{ \left(\alpha+\beta\right) \left(\alpha+\gamma\right)} \end{align} $\blacksquare$

〔3〕任意の確率変数が最大となる確率:一般化

〔2〕と同様に、一般の $\alpha_i$ に対し、$X_1$ が $X_1,X_2, \cdots ,X_n$ の中で最大となる事象は、 $X_1 \gt X_2$ かつ … かつ $X_1 \gt X_n$ となる事象 であるから、この事象が観測される確率を求めればよい。

一般に $X_1 \gt X_i \left(i=2,3, \cdots ,n\right)$ となる確率は、 \begin{align} P \left(X_1 \gt X_i\middle| X_1=x_1\right)&=P \left(x_1^{\alpha_1} \gt X_i^{\alpha_i}\right)\\ &=P \left(X_i \lt x_1^{\frac{\alpha_1}{\alpha_i}}\right)\\ &=x_1^{\frac{\alpha_1}{\alpha_i}} \end{align} \begin{align} P \left(X_1 \gt X_i\right)&=\int_{0}^{1}{x_1^{\frac{\alpha_1}{\alpha_i}}dx_1}\\ &=\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\alpha_i} \left[x_1^{\frac{\alpha_1+\alpha_i}{\alpha_i}}\right]_0^1\\ &=\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\alpha_i} \end{align} したがって、 \begin{align} P \left\{X_1=\mathrm{max} \left(X_1,X_2, \cdots ,X_n\right)\right\}&=P \left\{ \left(X_1 \gt X_2\right) \cap \cdots \cap \left(X_1 \gt X_n\right)\right\}\\ &=P \left(X_1 \gt X_2\right) \cdots P \left(X_1 \gt X_n\right)\\ &=\frac{\alpha_2}{\alpha_1+\alpha_2} \cdots \frac{\alpha_n}{\alpha_1+\alpha_n}\\ &=\prod_{i=2}^{n}\frac{\alpha_i}{\alpha_1+\alpha_i} \end{align} $\blacksquare$

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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