統計検定 1級 2012年 統計数理 問4 区間推定と両側検定

本稿には、2012年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕信頼区間の導出

正規分布の標本平均の分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{x}\sim N(\mu ,\frac{1}{n})\end{array}$$ 標本平均 $\overline{X}$ を標準化した値を $$\begin{array}{r}Z=\sqrt{n}(\overline{x}-\mu )\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}Z\sim N(0,1)\end{array}$$ 標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P\{-z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le Z\le z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\}=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \sqrt{n}(\overline{x}-\mu )\le z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ \text{(1)}& \overline{x}-\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \mu \le \overline{x}+\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\end{array}$$ $◼$

〔2〕両側検定の導出

ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{x})$ をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。 $$\begin{array}{}\text{(2)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}a\le T\left(\mathit{X}\right)\le b& 0:\mathrm{Accept}{H}_0\\ T\left(\mathit{X}\right)<a\mathrm{or}b<T\left(\mathit{X}\right)& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ （i）尤度比の算出
正規分布の母平均の最尤推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\mu }=\overline{x}\end{array}$$ 両仮説の尤度比 $\lambda$ を計算すると、 $$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{L(\mu =0;\mathit{x})}{L(\mu =\overline{x};\mathit{x})}\\ & =\frac{\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x_i^2}{2}}}{\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(x_i-\overline{x})}^2}{2}}}\\ & =\prod _{i=1}^n\exp [-\frac{1}{2}\{x_i^2-{(x_i-\overline{x})}^2\}]\\ & =\exp [-\frac{1}{2}\left\{\sum _{i=1}^n(2x_i\overline{x}-{\overline{x}}^2)\right\}]\\ & =\exp [-\frac{1}{2}\{2\overline{x}\sum _{i=1}^n{x}_i-n{\overline{x}}^2\}]\\ & =\exp [-\frac{1}{2}\{2\overline{x}\cdot n\overline{x}-n{\overline{x}}^2\}]\\ & =\exp [-\frac{n{\overline{x}}^2}{2}]\\ & =h\left(\overline{x}\right)\end{array}$$ したがって、検定統計量 $T\left(\mathit{X}\right)=\overline{x}$ が考えられる。

（ii）帰無仮説における検定統計量の分布
帰無仮説 $H_0:\mu =0$ における標本平均の分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{x}\sim \mathrm{N}(0,\frac{1}{n})\end{array}$$ 帰無仮説において、標本平均 $\overline{x}$ を標準化した値を $$\begin{array}{r}{Z}_0=\sqrt{n}\overline{x}\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}{Z}_0\sim N(0,1)\end{array}$$ （iii）棄却域の導出
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P\{Z_0<-z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\}+P\{z\left(\frac{\alpha }{2}\right)<Z_0\}=\alpha \end{array}$$ したがって、式 $(2)$ より、 $$\begin{array}{}\text{(3)}& \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}-z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \sqrt{n}\overline{x}\le z\left(\frac{\alpha }{2}\right)& 0:\mathrm{Accept}{H}_0\\ \sqrt{n}\overline{x}<-z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\mathrm{or}z\left(\frac{\alpha }{2}\right)<\sqrt{n}\overline{x}& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ すなわち、棄却域は、 $$\begin{array}{c}R=\{\overline{x}:\overline{x}<-\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right),\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)<\overline{x}\}\end{array}$$ $◼$

〔3〕区間推定と両側検定が同義であることの証明

$\mu =0$ が上問〔1〕で求めた信頼区間に入っているとき、式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{c}\overline{x}-\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le 0\le \overline{x}+\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ -\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \overline{x}\le \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\end{array}$$ いっぽう、〔2〕の検定を棄却しないとき、式 $(3)$ より、 $$\begin{array}{c}-\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\le \overline{x}\le \frac{1}{\sqrt{n}}\cdot z\left(\frac{\alpha }{2}\right)\end{array}$$ $◼$ したがって、これら2つは、数学的に同義である。

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