統計検定 1級 2013年 統計数理 問2 正規分布からの無作為標本に関する問題

本稿には、2013年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕正規分布の独立性の証明

正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}{Y}_n\sim \mathrm{N}(n\mu ,n{\sigma }^2)\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{rl}T& =X_1-\frac{Y_n}{n}\\ & =X_1-\frac{1}{n}(X_1+X_2+\cdots +X_n)\\ & =\frac{n-1}{n}{X}_1-\frac{1}{n}(X_2+\cdots +X_n)\end{array}$$ とおくと、 期待値の性質 $E(aX+bY)=aE\left(X\right)+bE\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(T\right)& =E(X_1-\frac{Y_n}{n})\\ & =E\left(X_1\right)-\frac{1}{n}E\left(Y_n\right)\\ & =\mu -\frac{1}{n}n\mu \\ & =0\end{array}$$ 確率変数が互いに独立な時、分散の性質 $V(aX+bY)=a^{2}V\left(X\right)+b^{2}V\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(T\right)& =V\{\frac{n-1}{n}{X}_1-\frac{1}{n}(X_2+\cdots +X_n)\}\\ & ={\left(\frac{n-1}{n}\right)}^{2}V\left(X_1\right)+\frac{1}{n^2}V\left(\sum _{i=2}^n{X}_i\right)\\ & =\frac{{(n-1)}^2}{n^2}{\sigma }^2+\frac{n-1}{n^2}{\sigma }^2\\ & =\frac{(n-1)(n-1+1)}{n^2}{\sigma }^2\\ & =\frac{n(n-1)}{n^2}{\sigma }^2\\ & =\frac{n-1}{n}{\sigma }^2\end{array}$$ したがって、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}T\sim \mathrm{N}(0,\frac{n-1}{n}{\sigma }^2)\end{array}$$

ここから、正規分布には、「確率変数が無相関であれば、互いに独立である」との性質があることを用いて、題意を示す。

$Y_n$ と $T$ の積の期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(T{Y}_n\right)& =E\left[(X_1-\frac{Y_n}{n})Y_n\right]\\ & =E(X_1{Y}_n-\frac{Y_n^2}{n})\\ & =E\left[X_1(X_1+X_2+\cdots +X_n)\right]-\frac{1}{n}E\left(Y_n^2\right)\\ & =E[X_1^2+\sum _{i=2}^n{X}_1{X}_i]-\frac{1}{n}E\left(Y_n^2\right)\\ & =E\left(X_1^2\right)+E\left(\sum _{i=2}^n{X}_1{X}_i\right)-\frac{1}{n}E\left(Y_n^2\right)\\ \text{(1)}& & =E\left(X_1^2\right)+\sum _{i=2}^{n}E\left(X_1{X}_i\right)-\frac{1}{n}E\left(Y_n^2\right)\end{array}$$ 右辺の各項について、
（i）分散の公式の変形 $E\left(X^2\right)=V\left(X\right)+{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X_1^2\right)={\sigma }^2+{\mu }^2\end{array}$$ （ii）$X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ は、互いに独立なので、期待値の性質より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X_1{X}_i\right)& =E\left(X_1\right)E\left(X_i\right)\\ & ={\mu }^2\end{array}$$ （iii）分散の公式の変形 $E\left(Y_n^2\right)=V\left(Y_n\right)+{\left\{E\left(Y_n\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y_n^2\right)& =n{\sigma }^2+n^2{\mu }^2\\ & =n({\sigma }^2+n{\mu }^2)\end{array}$$ したがって、式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(T{Y}_n\right)& =({\sigma }^2+{\mu }^2)+(n-1){\mu }^2-\frac{n({\sigma }^2+n{\mu }^2)}{n}\\ & ={\sigma }^2-{\sigma }^2+(n-1){\mu }^2-(n-1){\mu }^2\\ & =0\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(T,Y_n)=E\left(T{Y}_n\right)-E\left(T\right)E\left(Y_n\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(T,Y_n)=0-0\cdot n\mu =0\end{array}$$ ゆえに、無相関であることが示せたので、同時に、$Y_n$ と $T$ は互いに独立であることも示された。 $◼$

〔2〕総和が与えられたときの1番目の観測値の条件付き分布

確率変数の独立性の性質 $f\left(t\right|y_n)=f\left(t\right)$ から、$Y_n=y_n$ が与えられたときの $T$ の条件付き分布は、 $$\begin{array}{c}(X_1-\frac{Y_n}{n})|y_n\sim \mathrm{N}(0,\frac{n-1}{n}{\sigma }^2)\\ (X_1|y_n-\frac{y_n}{n})\sim \mathrm{N}(0,\frac{n-1}{n}{\sigma }^2)\end{array}$$ このことから、$X_1$ の条件付き期待値は、 $$\begin{array}{c}E(X_1|y_n-\frac{y_n}{n})=0\\ E\left(X_1|y_n\right)-E\left(\frac{y_n}{n}\right)=0\\ E\left(X_1|y_n\right)=\frac{y_n}{n}\end{array}$$ $X_1$ の条件付き分散は、 $$\begin{array}{c}V(X_1|y_n-\frac{y_n}{n})=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2\\ V\left(X_1|y_n\right)=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}{X}_1|y_n\sim \mathrm{N}(\frac{y_n}{n},\frac{n-1}{n}{\sigma }^2)\end{array}$$ $◼$

〔3〕k個の累積和を与えたときのk-1個の累積和の条件付き分布

〔2〕の結果より、一般の $i=1,2,\cdots ,n$ について、 $$\begin{array}{c}{X}_i|y_k\sim \mathrm{N}(\frac{y_k}{k},\frac{k-1}{k}{\sigma }^2)\end{array}$$ また、$Y_{k-1}=Y_k-X_k$ なので、 $$\begin{array}{rl}{Y}_{k-1}|y_k& =(Y_k-X_k|y_k)\\ & =y_k-X_k|y_k\end{array}$$ $Y_{k-1}$ の条件付き期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y_{k-1}\right|y_k)& =E(Y_k-X_k|y_k)\\ & =y_k-E\left(X_k\right|y_k)\\ & =y_k-\frac{y_k}{k}\\ & =\frac{k-1}{k}{y}_k\end{array}$$ $Y_{k-1}$ の条件付き分散は、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y_{k-1}\right|y_k)& =V(Y_k-X_k|y_k)\\ & =V\left(X_k\right|y_k)\\ =\frac{k-1}{k}{\sigma }^2\end{array}$$ したがって、正規分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}{Y}_{k-1}|y_k\sim \mathrm{N}(\frac{k-1}{k}{y}_k,\frac{k-1}{k}{\sigma }^2)\end{array}$$ $◼$

〔4〕条件付きの確率密度関数と総和の周辺確率密度関数

まず、確率変数 $X_i$ の確率密度関数を以下のようにおく。 $$\begin{array}{r}f\left(x_i\right)\end{array}$$ $X_k$ と部分和 $Y_{k-1}$ は独立なので、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}{i}_{k-1}(y_{k-1},x_k)=g_{k-1}\left(y_{k-1}\right)\cdot f\left(x_k\right)\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}w=x_k\\ y_k=x_k+y_{k-1}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_k=w\\ y_{k-1}=y_k-w\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x_k}{\partial w}& \frac{\partial x_k}{\partial y_k}\\ \frac{\partial y_{k-1}}{\partial w}& \frac{\partial y_{k-1}}{\partial y_k}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|\\ & =\left|1\right|\\ & =1\end{array}$$ したがって、$Y_{k-1}$ と $Y_k$ の同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}{h}_{k-1}(y_{k-1},y_k)& =i_{k-1}(y_{k-1},y_k-y_{k-1})\cdot 1\\ & =g_{k-1}\left(y_{k-1}\right)\cdot f\left(x_k\right)\end{array}$$ いっぽう、条件付き確率密度関数の定義式 $g\left(x\right|y)=\frac{f(x,y)}{h\left(y\right)}$ より、 $$\begin{array}{rl}{f}_{k-1}\left(y_{k-1}\right|y_k)& =\frac{h_{k-1}(y_{k-1},y_k)}{g_k\left(y_k\right)}\\ & =\frac{g_{k-1}\left(y_{k-1}\right)\cdot f\left(x_k\right)}{g_k\left(y_k\right)}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}\left\{\prod _{k=2}^n{f}_{k-1}\left(y_{k-1}\right|y_k)\right\}\times g_n\left(y_n\right)& =\frac{g_1\left(y_1\right)\cdot f\left(x_2\right)}{g_2\left(y_2\right)}\cdot \frac{g_2\left(y_2\right)\cdot f\left(x_3\right)}{g_3\left(y_3\right)}\cdots \frac{g_{n-1}\left(y_{n-1}\right)\cdot f\left(x_n\right)}{g_n\left(y_n\right)}\cdot g_n\left(y_n\right)\\ & =g_1\left(y_1\right)\cdot f\left(x_2\right)\cdot f\left(x_3\right)\cdots f\left(x_n\right)\end{array}$$ ここで、$X_1=Y_1$ だから、 $$\begin{array}{r}{g}_1\left(y_1\right)=f\left(x_1\right)\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{rl}\left\{\prod _{k=2}^n{f}_{k-1}\left(y_{k-1}\right|y_k)\right\}\times g_n\left(y_n\right)& =f\left(x_1\right)\cdot f\left(x_2\right)\cdot f\left(x_3\right)\cdots f\left(x_n\right)\\ & =\prod _{i=1}^{n}f\left(x_i\right)\end{array}$$ $◼$

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