統計検定 1級 2015年 統計数理 問2 正規分布の母平均に関する検定問題

本稿には、2015年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕有意確率の算出

正規分布の標本平均の従う分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim \mathrm{N}(\mu ,\frac{1}{n})\end{array}$$ これを標準化した値は、 $$\begin{array}{r}\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )=Z_1\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 帰無仮説 $\mu =0$ において、$n=10,\overline{x}=0.3,\overline{x}=0.6$ のときの有意確率は、 $$\begin{array}{c}P(0.3\cdot \sqrt{10}\le Z_0)\cong P(0.95\le Z_0)=0.1711\\ P(0.6\cdot \sqrt{10}\le Z_0)\cong P(1.90\le Z_0)=0.0287\end{array}$$ グラフの概形を描くと以下のようになる。 $◼$

〔2〕分布関数による有意確率の表現

〔1〕と同様に考えると、 $$\begin{array}{rl}P& =P(\sqrt{n}\overline{x}\le Z_0)\\ & =1-P(Z_0\le \sqrt{n}\overline{x})\\ & =1-\mathrm{\Phi }\left(\sqrt{n}\overline{x}\right)\end{array}$$ $P$-値が $\alpha$ より小さくなるとき、 $$\begin{array}{c}P(\sqrt{n}\overline{X}\le Z_0)<\alpha \iff z_{\alpha }<\sqrt{n}\overline{X}\\ \frac{1}{\sqrt{n}}{z}_{\alpha }<\overline{X}\end{array}$$ したがって、$P$-値が $\alpha$ より小さくなることと、$\overline{x}$ が棄却域に落ちることは同等である。 $◼$

〔3〕検出力の算出

検出力の定義式より、 $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(z_{\alpha }\le \sqrt{n}\overline{X}|0<\mu )\\ & =P\{z_{\alpha }-\mu \sqrt{n}\le \sqrt{n}(\overline{X}-\mu )|0<\mu \}\\ & =P(z_{\alpha }-\mu \sqrt{n}\le Z_1|0<\mu )\end{array}$$ $\alpha =0.05\iff z_{\alpha }=1.64$ のとき $$\begin{array}{r}1-\beta =P(1.64-\mu \sqrt{n}\le Z_1|0<\mu )\end{array}$$ （i）$n=9,\mu =0.4$ のとき $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(1.64-0.4\sqrt{9}\le Z_1)\\ & =P(0.44\le Z_1)\\ & =0.3300\end{array}$$ （ii）$n=9,\mu =0.8$ のとき $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(1.64-0.8\sqrt{9}\le Z_1)\\ & =P(-0.76\le Z_1)\\ & =0.7764\end{array}$$ （iii）$n=16,\mu =0.4$ のとき $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(1.64-0.4\sqrt{16}\le Z_1)\\ & =P(0.04\le Z_1)\\ & =0.4840\end{array}$$ （ii）$n=16,\mu =0.8$ のとき $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(1.64-0.8\sqrt{16}\le Z_1)\\ & =P(-1.56\le Z_1)\\ & =0.9406\end{array}$$ グラフの概形を描くと以下のようになる。 $◼$

〔4〕サンプルサイズの設計

〔3〕の結果より、$\mu =0.5,1-\beta \ge 0.8$ のとき、 $$\begin{array}{c}P(1.64-0.5\sqrt{n}\le Z_1)\le 0.8\\ 1.64-0.5\sqrt{n}\le Z_{0.8}\\ 1.64-0.5\sqrt{n}\le -0.84\\ 1.64+0.84\le 0.5\sqrt{n}\\ 4.96\le \sqrt{n}\\ 24.6\le n\end{array}$$ これを満たす最小の整数を考えると、サンプルサイズは、 $$\begin{array}{r}25\le n\end{array}$$ $◼$

〔5〕一様最強力検定の導出

本問の場合、ネイマン・ピアソンの基本定理の内容は、単純仮説による検定問題 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}{H}_0:\mu =0& H_1:\mu ={\mu }_1(>0)\end{array}\end{array}$$ を考えるにあたり、 尤度比を標本平均 $\overline{x}$ の関数 $$\begin{array}{r}\lambda \left(x\right)=\frac{f_1\left(\mathit{x}\right|\mu ={\mu }_1)}{f_0\left(\mathit{x}\right|\mu =0)}=g\left(\overline{x}\right)\end{array}$$ として、 「以下の棄却域と検定関数をもつ検定が有意水準を $\alpha$ とする最強力検定である」というものである。 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}\lambda \left(x\right)<k& 0:\mathrm{Accept}{H}_0\\ \lambda \left(x\right)>k& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\\ \iff \phi (\theta ;\mathit{x})=\{\begin{array}{cc}\overline{x}<k^{\prime }& 0:\mathrm{Accept}{H}_0\\ \overline{x}>k^{\prime }& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ ただし、定数 $k^{\prime }$ は、$0<k^{\prime }$ を満たし、 $$\begin{array}{r}P\{\overline{x}\in R|\mu =0\}=\alpha \end{array}$$ 本問の場合、棄却域を $$\begin{array}{r}\frac{z_{\alpha }}{\sqrt{n}}<\overline{x}\end{array}$$ とすることで、 第1種の過誤の確率が $\alpha$ に制御できる。この棄却域は、${\mu }_1(>0)$ の値に依存しないので、一様最強力検定である。 $◼$

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