統計検定 1級 2012年 統計数理 問1 連続一様分布の順序統計量の分布

本稿には、2012年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕確率積分変換

累積分布関数の定義から、$P(Z<0)=P(1<Z)=0$ であり、$Z$ の定義域は、$0\le Z\le 1$ である。

ここで、$U$ の累積分布関数を $G\left(u\right)$ とすると、 $$\begin{array}{rl}G\left(u\right)& =P(U\le u)\\ & =P\{F\left(Z\right)\le u\}\end{array}$$ また、$F\left(z\right)$\ は狭義単調増加関数なので、逆関数 $Z=F^{-1}\left(u\right)$ が存在することから $$\begin{array}{rl}G\left(u\right)& =P\{Z\le F^{-1}\left(u\right)\}\\ & =F\left\{F^{-1}\left(u\right)\right\}\\ & =u\end{array}$$ これは、一様分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{U}(0,1)\end{array}$$ の累積分布関数であるから、 累積分布関数の一意性により、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{U}(0,1)\end{array}$$ $◼$

〔2〕順序統計量の分布

まず、確率変数 $X_j$ の累積分布関数と確率密度関数をそれぞれ $$\begin{array}{c}{G}_j\left(x\right)g_j\left(x\right)\\ 0\le x\le 1\end{array}$$ とする。

（i）最大値 $X_3$ の分布
最大値が $x$ 以下となるとき、すべての $X_j$ が $x$ 以下となるので、 $$\begin{array}{r}{G}_3\left(x\right)=P(X_1\le x,X_2\le x,X_3\le x)\end{array}$$ 確率変数 $X_j$ は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{rl}{G}_3\left(x\right)& =P(U_1\le x)\cdot P(U_2\le x)\cdot P(U_3\le x)\\ & =F\left(x\right)\cdot F\left(x\right)\cdot F\left(x\right)\\ & ={\left\{F\left(x\right)\right\}}^3\\ & =x^3\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $g\left(x\right)=\frac{d}{dx}G\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{r}{g}_3\left(x\right)=3x^2\end{array}$$

（ii）2番目に大きい値 $X_2$ の分布
2番目の値が $x$ 以下となるのは、
$U_1,U_2,U_3$ のうち2つが $x$ 以下、かつ、1つが $x$ 以上 もしくは、 $U_1,U_2,U_3$ のすべてが $x$ 以下 のときであるから、 （a）2つが $x$ 以下となる確率は、 $$\begin{array}{rl}{P}_1& ={}_3{C}_2\cdot P(U\le x)\cdot P(U\le x)\cdot P(U\ge x)\\ & =3\cdot x\cdot x\cdot (1-x)\\ & =3x^2-3x^3\end{array}$$ （b）3つが $x$ 以下となる確率は、（i）の結果より、 $$\begin{array}{rl}{P}_2& =x^3\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}{G}_2\left(x\right)& =3x^2-3x^3+x^3\\ & =3x^2-2x^3\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $g\left(x\right)=\frac{d}{dx}G\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{g}_2\left(x\right)& =-6x^2+6x\end{array}$$

（iii）最小値 $X_1$ の分布
最小値が $x$ 以下となるとき、少なくとも1つの $X_i$ が $x$ 以下となる。これは、「すべての $X_i$ が $x$ 以上となる事象」の余事象であるから、 $$\begin{array}{r}{G}_1\left(x\right)=1-P(x\le X_1,x\le X_2,x\le X_3)\end{array}$$ 確率変数 $X_j$ は互いに独立であるため、この確率は、 $$\begin{array}{r}{G}_1\left(x\right)=1-P(x\le U_1)\cdot P(x\le U_2)\cdot P(x\le U_3)\end{array}$$ 確率の基本性質 $P(x\le X)=1-P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}{G}_1\left(x\right)& =1-[\{1-F\left(x\right)\}\cdot \{1-F\left(x\right)\}\cdot \{1-F\left(x\right)\}]\\ & =1-{\{1-F\left(x\right)\}}^3\\ & =1-{(1-x)}^3\end{array}$$ 累積分布関数と確率密度関数の関係 $g\left(x\right)=\frac{d}{dx}G\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{g}_1\left(x\right)& =-3{(1-x)}^2\cdot \frac{d}{dx}(1-x)\\ & =-3{(1-x)}^2\cdot (-1)\\ & =3{(1-x)}^2\end{array}$$

それぞれのグラフを描くと、以下のようになる。 $◼$

〔3〕確率変数の期待値

期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、
（i）最大値 $X_3$ の期待値 $$\begin{array}{rl}E\left(X_3\right)& ={\int }_0^{1}x\cdot g_3\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{1}x\cdot 3x^{2}dx\\ & ={\int }_0^{1}3x^{3}dx\\ & ={\left[\frac{3}{4}{x}^4\right]}_0^1\\ & =\frac{3}{4}\end{array}$$

（ii）2番目に大きい値 $X_2$ の期待値
$$\begin{array}{rl}E\left(X_2\right)& ={\int }_0^{1}x\cdot g_2\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{1}x(-6x^2+6x)dx\\ & ={\int }_0^1(-6x^3+6x^2)dx\\ & ={[-\frac{3}{2}{x}^4+2x^3]}_0^1\\ & =-\frac{3}{2}+2\\ & =\frac{1}{2}\end{array}$$

（iii）最小値 $X_1$ の期待値 $$\begin{array}{rl}E\left(X_1\right)& ={\int }_0^{1}x\cdot g_1\left(x\right)dx\\ & ={\int }_0^{1}x(3x^2-6x+3)dx\\ & ={\int }_0^1(3x^3-6x^2+3x)dx\\ & ={[\frac{3}{4}{x}^4-2x^3+\frac{3}{2}{x}^2]}_0^1\\ & =\frac{3}{4}-2+\frac{3}{2}\\ & =\frac{1}{4}\end{array}$$ $◼$

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