平方変換後の確率密度関数の導出

確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G\left(y\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =P(Y\le y)\\ & =P(X^2\le y)\\ & =P(-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y})\end{array}$$ 累積分布関数の定義式 $G\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{r}G\left(y\right)=F\left(\sqrt{y}\right)-F(-\sqrt{y})\end{array}$$ 確率密度関数を $g\left(y\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{d}{dy}G\left(y\right)\\ & =\frac{d}{dy}\{F\left(\sqrt{y}\right)-F(-\sqrt{y})\}\\ & =f\left(\sqrt{y}\right)\cdot \frac{1}{2\sqrt{y}}-f(-\sqrt{y})\cdot (-\frac{1}{2\sqrt{y}})\\ & =\frac{1}{2\sqrt{y}}\{f\left(\sqrt{y}\right)+f(-\sqrt{y})\}\end{array}$$ $◼$