統計検定 1級 2015年 統計数理 問5 組標本に関する問題

本稿には、2015年に実施された統計検定1級『統計数理』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕標本平均と標本不偏分散の分割

（i）標本平均
定義式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}\overline{y}& =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i\\ & =\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n_1}{y}_i+\sum _{i=n_1+1}^n{y}_i)\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}{\overline{y}}_1=\frac{1}{n_1}\sum _{i=1}^{n_1}{y}_i\iff n_1{\overline{y}}_1=\sum _{i=1}^{n_1}{y}_i\\ {\overline{y}}_2=\frac{1}{n_2}\sum _{i=n_1+1}^n{y}_i\iff n_2{\overline{y}}_2=\sum _{i=n_1+1}^n{y}_i\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}\overline{y}=\frac{n_1{\overline{y}}_1+n_2{\overline{y}}_2}{n}\end{array}$$

（ii）標本不偏分散
$s_1^2$ の定義式を変形すると、 $$\begin{array}{rl}{s}_1^2& =\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}{(y_i-{\overline{y}}_1)}^2\\ & =\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}{\{(y_i-\overline{y})-({\overline{y}}_1-\overline{y})\}}^2\\ & =\frac{1}{n_1-1}\sum _{i=1}^{n_1}\{{(y_i-\overline{y})}^2-2(y_i-\overline{y})({\overline{y}}_1-\overline{y})+{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2\}\\ \text{(1)}& & =\frac{1}{n_1-1}\{\sum _{i=1}^{n_1}{(y_i-\overline{y})}^2-2({\overline{y}}_1-\overline{y})\sum _{i=1}^{n_1}(y_i-\overline{y})+n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2\}\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{rl}({\overline{y}}_1-\overline{y})\sum _{i=1}^{n_1}(y_i-\overline{y})& =({\overline{y}}_1-\overline{y})(\sum _{i=1}^{n_1}{y}_i-n_1\overline{y})\\ & =({\overline{y}}_1-\overline{y})(n_1{\overline{y}}_1-n_1\overline{y})\\ & =n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2\end{array}$$ よって、式 $(1)$ より、 $$\begin{array}{rl}{s}_1^2& =\frac{1}{n_1-1}\{\sum _{i=1}^{n_1}{(y_i-\overline{y})}^2-2n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2+n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2\}\\ & =\frac{1}{n_1-1}\{\sum _{i=1}^{n_1}{(y_i-\overline{y})}^2-n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2\}\\ \sum _{i=1}^{n_1}{(y_i-\overline{y})}^2& =(n_1-1)s_1^2+n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2\end{array}$$ 同様に、 $$\begin{array}{rl}\sum _{i=n_1+1}^n{(y_i-\overline{y})}^2& =(n_2-1)s_2^2+n_2{({\overline{y}}_2-\overline{y})}^2\end{array}$$ したがって、$s^2$ の定義式より、 $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n{(y_i-\overline{y})}^2\\ & =\frac{1}{n-1}\{\sum _{i=1}^{n_1}{(y_i-\overline{y})}^2+\sum _{i=n_1+1}^n{(y_i-\overline{y})}^2\}\\ \text{(2)}& & =\frac{1}{n-1}\{(n_1-1)s_1^2+n_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2+(n_2-1)s_2^2+n_2{({\overline{y}}_2-\overline{y})}^2\}\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{rl}{n}_1{({\overline{y}}_1-\overline{y})}^2+n_2{({\overline{y}}_2-\overline{y})}^2& =n_1({\overline{y}}_1^2-2{\overline{y}}_1\overline{y}+{\overline{y}}^2)+n_2({\overline{y}}_2^2-2{\overline{y}}_2\overline{y}+{\overline{y}}^2)\\ & =n_1{\overline{y}}_1^2+n_2{\overline{y}}_2^2-2\overline{y}(n_1{\overline{y}}_1+n_2{\overline{y}}_2)+(n_1+n_2){\overline{y}}^2\\ & =n_1{\overline{y}}_1^2+n_2{\overline{y}}_2^2-2\overline{y}\cdot n\overline{y}+(n_1+n_2){\overline{y}}^2\\ & =n_1{\overline{y}}_1^2+n_2{\overline{y}}_2^2-n\cdot \frac{1}{n^2}{(n_1{\overline{y}}_1+n_2{\overline{y}}_2)}^2\\ & =\frac{(n{n}_1-n_1^2)}{n}{\overline{y}}_1^2+\frac{(n{n}_2-n_2^2)}{n}{\overline{y}}_2^2-\frac{2n_1{n}_2}{n}{\overline{y}}_1{\overline{y}}_2\\ & =\frac{n_1(n-n_1)}{n}{\overline{y}}_1^2+\frac{n_2(n-n_2)}{n}{\overline{y}}_2^2-\frac{2n_1{n}_2}{n}{\overline{y}}_1{\overline{y}}_2\\ & =\frac{n_1{n}_2}{n}{\overline{y}}_1^2+\frac{n_1{n}_2}{n}{\overline{y}}_2^2-\frac{2n_1{n}_2}{n}{\overline{y}}_1{\overline{y}}_2\\ & =\frac{n_1{n}_2}{n}{({\overline{y}}_1-{\overline{y}}_2)}^2\end{array}$$ したがって、式 $(2)$ より、 $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{1}{n-1}\{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2+\frac{n_1{n}_2}{n}{({\overline{y}}_1-{\overline{y}}_2)}^2\}\end{array}$$ $◼$

〔2〕相関係数の算出

問題文の状況を、以下の確率変数の組が得られたと読み替える。 $$\begin{array}{r}(\mathit{X},\mathit{Y})=\left\{\begin{array}{c}{x}_1,y_1\\ x_2,y_2\\ ⋮\\ x_n,y_n\end{array}\right\}\end{array}$$ ただし、 $$\begin{array}{r}{X}_i=\{\begin{array}{cc}a& i=1,\cdots ,n_1\\ -a& i=n_1+1,\cdots ,n\end{array}\end{array}$$ 問題文の定義より、確率変数 $Y$ の期待値と分散は、 $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)=\overline{y}V\left(Y\right)=s^2\end{array}$$

（i）確率変数 $X$ の期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{i=1}^n{x}_i\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n_1}a-\sum _{i=n_1+1}^{n}a)\\ & =\frac{1}{n}(n_{1}a-n_{2}a)\\ & =\frac{a(n_1-n_2)}{n}\end{array}$$

（ii）確率変数 $X$ の分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\sum _{i=1}^n{x}_i^2\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n_1}{a}^2+\sum _{i=n_1+1}^n{a}^2)\\ & =\frac{1}{n}(n_1{a}^2+n_2{a}^2)\\ & =\frac{a^2(n_1+n_2)}{n}\\ & =a^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{n}{n-1}\{a^2-\frac{a^2{(n_1-n_2)}^2}{n^2}\}\\ & =\frac{a^2}{n(n-1)}\{n^2-{(n_1-n_2)}^2\}\\ & =\frac{a^2}{n(n-1)}\{{(n_1+n_2)}^2-{(n_1-n_2)}^2\}\\ & =\frac{a^2}{n(n-1)}\cdot 4n_1{n}_2\end{array}$$

（iii）積の期待値
積の期待値の定義式 $E\left(XY\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{y=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}xy\cdot f(x,y)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(XY\right)& =\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\cdot \frac{1}{n}\\ & =\frac{1}{n}(\sum _{i=1}^{n_1}a{y}_i-\sum _{i=n_1+1}^{n}a{y}_i)\\ & =\frac{1}{n}(a{n}_1{\overline{y}}_1-a{n}_2{\overline{y}}_2)\\ & =\frac{a(n_1{\overline{y}}_1-n_2{\overline{y}}_2)}{n}\end{array}$$

（iv）共分散
共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{Cov}(X,Y)& =\frac{n}{n-1}\{\frac{a(n_1{\overline{y}}_1-n_2{\overline{y}}_2)}{n}-\frac{a(n_1-n_2)}{n}\cdot \overline{y}\}\\ & =\frac{a}{n-1}\{(n_1{\overline{y}}_1-n_2{\overline{y}}_2)-(n_1-n_2)\left(\frac{n_1{\overline{y}}_1+n_2{\overline{y}}_2}{n}\right)\}\\ & =\frac{a}{n(n-1)}\{n(n_1{\overline{y}}_1-n_2{\overline{y}}_2)-(n_1-n_2)(n_1{\overline{y}}_1+n_2{\overline{y}}_2)\}\\ & =\frac{a}{n(n-1)}\{n{n}_1{\overline{y}}_1-(n_1-n_2)n_1{\overline{y}}_1-n{n}_2{\overline{y}}_2-(n_1-n_2)n_2{\overline{y}}_2\}\\ & =\frac{a}{n(n-1)}(2n_1{n}_2{\overline{y}}_1-2n_1{n}_2{\overline{y}}_2)\\ & =\frac{2a{n}_1{n}_2}{n(n-1)}({\overline{y}}_1-{\overline{y}}_2)\end{array}$$

（v）相関係数
相関係数の定義式 ${\rho }_{xy}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_x\cdot {\sigma }_y}$ より、 $$\begin{array}{rl}{\rho }_{xy}& =\frac{\frac{2a{n}_1{n}_2}{n(n-1)}({\overline{y}}_1-{\overline{y}}_2)}{\sqrt{\frac{a^2}{n(n-1)}\cdot 4n_1{n}_2}\cdot \sqrt{s^2}}\\ & =\frac{2a{n}_1{n}_2}{n(n-1)}({\overline{y}}_1-{\overline{y}}_2)\cdot \frac{\sqrt{n(n-1)}}{2a\sqrt{n_1{n}_2{s}^2}}\\ & =\frac{\sqrt{n_1{n}_2}}{\sqrt{n(n-1)s^2}}({\overline{y}}_1-{\overline{y}}_2)\end{array}$$ $◼$

〔3〕標本平均・標本不偏分散・相関係数の計算

〔1〕の結果より、標本平均の値は、 $$\begin{array}{r}\overline{y}=\frac{14\cdot 37.9+14\cdot 28.1}{28}=33.0\end{array}$$ 〔1〕の結果より、標本不偏分散の値は、 $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{1}{28-1}\{(14-1)\cdot 57.92+(14-1)\cdot 44.13+\frac{14\cdot 14}{28}{(37.9-28.1)}^2\}\\ & =74.03\end{array}$$ 〔2〕の結果より、標本相関係数の値は、 $$\begin{array}{rl}{\rho }_{xy}& =\frac{\sqrt{14\cdot 14}}{\sqrt{28(28-1)\cdot 74.03}}(37.9-28.1)\\ & =0.58\end{array}$$ $◼$

〔4〕標準正規分布の条件付き期待値

標準正規分布の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(z\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\end{array}$$ 標準正規分布表より、 $$\begin{array}{r}P(0\le Z)=\frac{1}{2}\end{array}$$ 条件付き確率密度関数の定義式より、 $$\begin{array}{rl}f\left(z\right|0\le Z)& =\frac{f\left(z\right)}{P(0\le Z)}\\ & =\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{z^2}{2}}\end{array}$$ 条件付き期待値の定義式より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Z\right|0\le Z)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}z\cdot f\left(z\right|0\le Z)dz\\ & =\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}z\cdot e^{-\frac{z^2}{2}}dz\\ & =\frac{2}{\sqrt{2\pi }}{[-e^{-\frac{z^2}{2}}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\{-(0-1)\}\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\end{array}$$ $◼$

〔5〕期待値と分散の算出

標準正規分布表より、 $$\begin{array}{r}P(X<0)=P(0\le X)=\frac{1}{2}\end{array}$$ （i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(T\right)& =a\cdot P(0\le X)-a\cdot P(X<0)\\ & =a\cdot \frac{1}{2}-a\cdot \frac{1}{2}\\ & =0\end{array}$$ （ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(T^2\right)& =a^2\cdot P(0\le X)+{(-a)}^2\cdot P(X<0)\\ & =a^2\cdot \frac{1}{2}+a^2\cdot \frac{1}{2}\\ & =a^2\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(X\right)=a^2-0=a^2\end{array}$$ $◼$

〔6〕2変量正規分布の相関係数

2変量正規分布の条件付き分布の公式より、 $$\begin{array}{c}Y|x\sim \mathrm{N}\{{\mu }_Y+\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}\rho (x-{\mu }_X),(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2\}\\ \Rightarrow Y|x\sim \mathrm{N}(\rho x,1-{\rho }^2)\end{array}$$ $Y$ の $0\le X$ における条件付き期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y\right|0\le X)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}E\left(Y\right|x)\cdot g\left(x\right|0\le X)dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\rho x\cdot g\left(x\right|0\le X)dx\\ & =\rho {\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot g\left(x\right|0\le X)dx\\ & =\rho \cdot E\left(X\right|0\le X)\\ & =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\rho \end{array}$$ $T$ と $Y$ の積の期待値は、 $$\begin{array}{rl}E\left(TY\right)& =\sum _{t=-a}^a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ty\cdot f(t,y)dy\\ & =\sum _{t=-a}^a{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ty\cdot h\left(y\right)\cdot P(T=t)dy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ay\cdot h\left(y\right|0\le X)\cdot \frac{1}{2}dy-{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}ay\cdot h\left(y\right|X<0)\cdot \frac{1}{2}dy\\ & =\frac{a}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\cdot h\left(y\right|0\le X)\cdot dy-\frac{a}{2}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\cdot h\left(y\right|X<0)dy\\ & =\frac{a}{2}\{E\left(Y\right|0\le X)-E\left(Y\right|X<0)\}\\ & =\frac{a}{2}\{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\rho -(-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\rho )\}\\ & =a\rho \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\end{array}$$ 共分散の公式 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E\left(XY\right)-E\left(X\right)E\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Cov}(X,Y)=a\rho \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}-0\cdot \overline{y}=a\rho \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\end{array}$$ 相関係数の定義式公式 ${\rho }_{xy}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_x\cdot {\sigma }_y}$ より、 $$\begin{array}{rl}\xi & =a\rho \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\cdot \frac{1}{\sqrt{a^2}\cdot \sqrt{1}}\\ & =\rho \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi }}\end{array}$$ したがって、相関係数 $\xi$ は、定数 $a$ に依存しない。

$T$ と $Y$ の間の相関は、〔3〕においては、$n_1=n_2=14$ のとき、$(\mathit{X},\mathit{Y})=\{(x_1,y_1)\cdots (x_n,y_n)\}$ の $x_i$ がある値より大きいとき $a$、小さいとき $-a$ として、$(\mathit{T},\mathit{Y})=\{(a,y_1)\cdots (-a,y_n)\}$ の相関係数を求めた場合に対応する。 $◼$

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