統計検定 1級 2013年 統計数理 問4 ウィルコクソンの符号順位検定

本稿には、2013年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕最低限必要なサンプルサイズ

中央値の定義より、帰無仮説 $H_0:\theta=0$ の下で、各 $z_i$ が正の値をとる確率は、 \begin{align} P \left(0 \lt z_i\right)=\frac{1}{2} \end{align} $n$ 個すべての値が正の値を取る確率は、 \begin{align} P= \left(\frac{1}{2}\right)^n \end{align} 帰無仮説が有意水準5%で棄却されるためには、この確率が0.05よりも小さな値になれなければならないので、 \begin{gather} \left(\frac{1}{2}\right)^4=0.0625 \gt 0.05\\ \left(\frac{1}{2}\right)^5=0.03125 \lt 0.05 \end{gather} したがって、サンプルサイズは、最低でも \begin{align} 5 \le n \end{align} でなければならない。 $\blacksquare$

〔2〕棄却限界値の導出

まず、$z_i$ の正負の組み合わせは、全部で $2^7$ 通り存在し、帰無仮説の下で、どのパターンも同様に確からしい。
帰無仮説を棄却する場合の数の総数を $a$ 通りとすると、 \begin{gather} \frac{1}{2^7} \cdot a \le 0.05\\ a \le 128 \cdot 0.05=6.4 \end{gather} 検定統計量 $T$ の値の最大値は、すべてが正の値の場合であるとき \begin{align} T=1+2+ \cdots +7=28 \end{align} 検定統計量 $T$ の値を数え上げていくと、 $T=28$ は、$ \left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}$ の1通り
$T=27$ は、$ \left\{2,3,4,5,6,7\right\}$ の1通り
$T=26$ は、$ \left\{1,3,4,5,6,7\right\}$ の1通り
$T=25$ は、$ \left\{1,2,4,5,6,7\right\}, \left\{3,4,5,6,7\right\}$ の2通り
$T=24$ は、$ \left\{1,2,3,5,6,7\right\}, \left\{2,4,5,6,7\right\}$ の2通り
したがって、 \begin{gather} P \left(24 \le T\middle| H_0\right)=\frac{7}{2^7}\cong0.055\\ P \left(25 \le T\middle| H_0\right)=\frac{5}{2^7}\cong0.039 \end{gather} したがって、棄却限界値と有意確率は、それぞれ、 \begin{gather} c=25\\ p=0.039 \end{gather} $\blacksquare$

〔3〕検定統計量の期待値と分散

$z_i$ が正の値を取るか否かを以下のようなベルヌーイ試行と考え、 \begin{gather} \delta_i= \left\{\begin{matrix}0&z_i \lt 0\\1&0 \lt z_i\\\end{matrix}\right.\\ P \left(\delta_i=0\right)=P \left(\delta_i=1\right)=\frac{1}{2} \end{gather} $i$ を $z_i$ の絶対値の順位とすると、検定統計量を以下のように定義することもできる。 \begin{gather} R_i=i \cdot \delta_i\\ T=\sum_{i=1}^{n}R_i \end{gather} （i）期待値
確率変数 $R_i$ について、期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(R_i\right)&=i \left\{0 \cdot P \left(\delta_i=0\right)+1 \cdot P \left(\delta_i=1\right)\right\}\\ &=\frac{i}{2} \end{align} 検定統計量 $T$ の期待値は、期待値の性質 $E \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}E \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} E \left(T\right)&=\sum_{i=1}^{n}E \left(R_i\right)\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}i \end{align} 自然数の和の公式 $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n \left(n+1\right)}{2}$ より、 \begin{align} E \left(T\right)&=\frac{1}{2} \cdot \frac{n \left(n+1\right)}{2}\\ &=\frac{n \left(n+1\right)}{4} \end{align}

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E \left(X\right)=\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x^2 \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} E \left(R_i^2\right)&=i \left\{0^2 \cdot P \left(\delta_i=0\right)+1^2 \cdot P \left(\delta_i=1\right)\right\}\\ &=\frac{i^2}{2} \end{align} 分散の公式 $V \left(R_i\right)=E \left(R_i^2\right)- \left\{E \left(R_i\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(R_i\right)&=\frac{i^2}{2}-\frac{i^2}{4}\\ &=\frac{i^2}{4} \end{align} 確率変数が互いに独立なとき、分散の性質 $V \left(\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\sum_{i=1}^{n}V \left(X_i\right)$ より、 \begin{align} V \left(T\right)&=\sum_{i=1}^{n}\frac{i^2}{4}\\ &=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^{n}i^2 \end{align} 自然数の2乗和の公式 $\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}$ より、 \begin{align} V \left(T\right)&=\frac{1}{4} \cdot \frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}\\ &=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{24} \end{align} $\blacksquare$

〔4〕検定統計量の正規近似

検定統計量 $T$ は漸近的に、 \begin{align} T \sim \mathrm{N} \left[\frac{n \left(n+1\right)}{4},\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{24}\right] \end{align} $n=7$ のときは、 \begin{align} T \sim \mathrm{N} \left(14,35\right) \end{align} 標準化した値を \begin{align} Z=\frac{T-14}{\sqrt{35}} \end{align} とすると、 \begin{align} Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} 棄却限界値を求めると、 \begin{gather} P \left(c \le T\right)=0.05\\ P \left(\frac{c-14}{\sqrt{35}} \le \frac{T-14}{\sqrt{35}}\right)=0.05\\ P \left(\frac{c-14}{\sqrt{35}} \le Z\right)=0.05\\ \frac{c-14}{\sqrt{35}}=z_{0.05} \end{gather} 標準正規分布表より、$z_{0.05}=1.64$ なので、 \begin{gather} \frac{c-14}{\sqrt{35}}=1.64\\ c=14+1.64 \cdot \sqrt{35}\\ c\cong23.70 \end{gather} $c$ は整数値なので、 \begin{gather} c \geq 24 \end{gather} $\blacksquare$