統計検定 1級 2013年 統計数理 問4 ウィルコクソンの符号順位検定

本稿には、2013年に実施された統計検定1級『統計数理』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕最低限必要なサンプルサイズ

中央値の定義より、帰無仮説 $H_0:\theta =0$ の下で、各 $z_i$ が正の値をとる確率は、 $$\begin{array}{r}P(0<z_i)=\frac{1}{2}\end{array}$$ $n$ 個すべての値が正の値を取る確率は、 $$\begin{array}{r}P={\left(\frac{1}{2}\right)}^n\end{array}$$ 帰無仮説が有意水準5%で棄却されるためには、この確率が0.05よりも小さな値になれなければならないので、 $$\begin{array}{c}{\left(\frac{1}{2}\right)}^4=0.0625>0.05\\ {\left(\frac{1}{2}\right)}^5=0.03125<0.05\end{array}$$ したがって、サンプルサイズは、最低でも $$\begin{array}{r}5\le n\end{array}$$ でなければならない。 $◼$

〔2〕棄却限界値の導出

まず、$z_i$ の正負の組み合わせは、全部で $2^7$ 通り存在し、帰無仮説の下で、どのパターンも同様に確からしい。
帰無仮説を棄却する場合の数の総数を $a$ 通りとすると、 $$\begin{array}{c}\frac{1}{2^7}\cdot a\le 0.05\\ a\le 128\cdot 0.05=6.4\end{array}$$ 検定統計量 $T$ の値の最大値は、すべてが正の値の場合であるとき $$\begin{array}{r}T=1+2+\cdots +7=28\end{array}$$ 検定統計量 $T$ の値を数え上げていくと、 $T=28$ は、$\{1,2,3,4,5,6,7\}$ の1通り
$T=27$ は、$\{2,3,4,5,6,7\}$ の1通り
$T=26$ は、$\{1,3,4,5,6,7\}$ の1通り
$T=25$ は、$\{1,2,4,5,6,7\},\{3,4,5,6,7\}$ の2通り
$T=24$ は、$\{1,2,3,5,6,7\},\{2,4,5,6,7\}$ の2通り
したがって、 $$\begin{array}{c}P(24\le T|H_0)=\frac{7}{2^7}\cong 0.055\\ P(25\le T|H_0)=\frac{5}{2^7}\cong 0.039\end{array}$$ したがって、棄却限界値と有意確率は、それぞれ、 $$\begin{array}{c}c=25\\ p=0.039\end{array}$$ $◼$

〔3〕検定統計量の期待値と分散

$z_i$ が正の値を取るか否かを以下のようなベルヌーイ試行と考え、 $$\begin{array}{c}{\delta }_i=\{\begin{array}{cc}0& z_i<0\\ 1& 0<z_i\end{array}\\ P({\delta }_i=0)=P({\delta }_i=1)=\frac{1}{2}\end{array}$$ $i$ を $z_i$ の絶対値の順位とすると、検定統計量を以下のように定義することもできる。 $$\begin{array}{c}{R}_i=i\cdot {\delta }_i\\ T=\sum _{i=1}^n{R}_i\end{array}$$ （i）期待値
確率変数 $R_i$ について、期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(R_i\right)& =i\{0\cdot P({\delta }_i=0)+1\cdot P({\delta }_i=1)\}\\ & =\frac{i}{2}\end{array}$$ 検定統計量 $T$ の期待値は、期待値の性質 $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(T\right)& =\sum _{i=1}^{n}E\left(R_i\right)\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}i\end{array}$$ 自然数の和の公式 $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(T\right)& =\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n(n+1)}{4}\end{array}$$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(R_i^2\right)& =i\{0^2\cdot P({\delta }_i=0)+1^2\cdot P({\delta }_i=1)\}\\ & =\frac{i^2}{2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(R_i\right)=E\left(R_i^2\right)-{\left\{E\left(R_i\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(R_i\right)& =\frac{i^2}{2}-\frac{i^2}{4}\\ & =\frac{i^2}{4}\end{array}$$ 確率変数が互いに独立なとき、分散の性質 $V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(T\right)& =\sum _{i=1}^n\frac{i^2}{4}\\ & =\frac{1}{4}\sum _{i=1}^n{i}^2\end{array}$$ 自然数の2乗和の公式 $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(T\right)& =\frac{1}{4}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\end{array}$$ $◼$

〔4〕検定統計量の正規近似

検定統計量 $T$ は漸近的に、 $$\begin{array}{r}T\sim \mathrm{N}[\frac{n(n+1)}{4},\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}]\end{array}$$ $n=7$ のときは、 $$\begin{array}{r}T\sim \mathrm{N}(14,35)\end{array}$$ 標準化した値を $$\begin{array}{r}Z=\frac{T-14}{\sqrt{35}}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 棄却限界値を求めると、 $$\begin{array}{c}P(c\le T)=0.05\\ P(\frac{c-14}{\sqrt{35}}\le \frac{T-14}{\sqrt{35}})=0.05\\ P(\frac{c-14}{\sqrt{35}}\le Z)=0.05\\ \frac{c-14}{\sqrt{35}}=z_{0.05}\end{array}$$ 標準正規分布表より、$z_{0.05}=1.64$ なので、 $$\begin{array}{c}\frac{c-14}{\sqrt{35}}=1.64\\ c=14+1.64\cdot \sqrt{35}\\ c\cong 23.70\end{array}$$ $c$ は整数値なので、 $$\begin{array}{c}c\ge 24\end{array}$$ $◼$