連続一様分布の定義と概要

（i）すべての $x$ に関して、$f \left(x\right) \geq 0$
$a \lt b\Rightarrow0 \lt b-a$ より、 \begin{align} f \left(x\right)=\frac{1}{b-a} \geq 0 \end{align} （ii）すべての確率の和が1
\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}f \left(x\right)dx&=\int_{-\infty}^{a}{0 \cdot d x}+\int_{a}^{b}{\frac{1}{b-a}dx}+\int_{b}^{\infty}{0 \cdot d x}\\ &=\int_{a}^{b}{\frac{1}{b-a}dx}\\ &=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{1 \cdot d x}\\ &=\frac{1}{b-a} \left[x\right]_a^b\\ &=\frac{b-a}{b-a}\\ &=1 \end{align} よって、確率密度関数の定義を満たしているため、確率密度関数である。 $\blacksquare$

累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt$ より、
（i）$x \lt a$ のとき \begin{align} F \left(x\right)=\int_{-\infty}^{x}f \left(t\right)dt=\int_{-\infty}^{x}{0 \cdot d t}=0 \end{align} （ii）$a \le x \le b$ のとき \begin{align} F \left(x\right)&=\int_{-\infty}^{a}f \left(t\right)dt+\int_{a}^{x}f \left(t\right)dt\\ &=\int_{-\infty}^{a}{0 \cdot d t}+\int_{a}^{x}{\frac{1}{b-a}dt}\\ &=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{x}{1 \cdot d t}\\ &=\frac{1}{b-a} \left[t\right]_a^x\\ &=\frac{x-a}{b-a} \end{align} （iii）$b \lt x$ のとき \begin{align} F \left(x\right)&=\int_{-\infty}^{a}f \left(t\right)dt+\int_{a}^{b}f \left(t\right)dt+\int_{b}^{x}f \left(t\right)dt\\ &=\int_{-\infty}^{a}{0 \cdot d t}+\int_{a}^{b}{\frac{1}{b-a}dt}+\int_{b}^{x}{0 \cdot d t}\\ &=1 \end{align} したがって、 \begin{align} F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt a\\\displaystyle\frac{x-a}{b-a}&a \le x \le b\\1&b \lt x\\\end{matrix}\right. \end{align} $\blacksquare$