連続一様分布の定義と概要

本稿では、連続一様分布の定義と概要についてまとめています。確率密度関数であることの証明、累積分布関数の導出、期待値・分散、モーメント母関数の紹介が含まれます。

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連続一様分布

定義・意味

確率変数 $X$ が 区間 $[a,b]$ の値を等確率で取るとき、 $X$ は連続一様分布 continuous uniform distribution に従うという。

確率密度関数

確率密度関数 $f(x)$ は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& a\le x\le b\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ で与えられる。

略記法

また、連続一様分布は、 $$\begin{array}{r}\mathrm{U}(a,b)\end{array}$$ と略記されることがある。

 

確率密度関数であることの証明

 

【公式】連続一様分布の累積分布関数

 

導出

 

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\mathrm{U}(a,b)\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{c}-\mathrm{\infty }<a<b<\mathrm{\infty }\end{array}$$

確率密度関数

$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{b-a}}& a\le x\le b\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

累積分布関数

$$\begin{array}{r}F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<a\\ {\displaystyle \frac{x-a}{b-a}}& a\le x\le b\\ 1& b<x\end{array}\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\frac{a+b}{2}\end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X\right)=\frac{{(b-a)}^2}{12}\end{array}$$

モーメント母関数

$$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\frac{e^{\theta b}-e^{\theta a}}{\theta (b-a)}\end{array}$$

 

参考文献

• 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.60
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.30
• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.35
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.39
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.97-100

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