本稿には、2012年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕モーメント母関数の導出
モーメント母関数の定義式 $M_X \left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{e^{tx} \cdot f \left(x\right)dx}$ より、 \begin{align} M_X \left(t\right)&=\int_{0}^{\infty}{e^{tx} \cdot \frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}dx}\\ &=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}x^{\frac{m}{2}-1}e^{- \left(\frac{1}{2}-t\right)x}dx} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left(\frac{1}{2}-t\right)x=\frac{s}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{1-2t}s\\ \frac{dx}{ds}=\frac{1}{1-2t}\Rightarrow dx=\frac{1}{1-2t}ds\\ x:0\rightarrow\infty \quad \Rightarrow \quad s:0\rightarrow\infty \end{gather} となるので、 置換積分法により、 \begin{align} M_X \left(t\right)&=\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)} \left(\frac{s}{1-2t}\right)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{s}{2}} \cdot \frac{1}{1-2t}ds}\\ &= \left(\frac{1}{1-2t}\right)^\frac{m}{2}\int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}s^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{s}{2}}ds} \end{align} ここで、右辺の積分部分の中身は、$\chi^2 \left(m\right)$ の確率密度関数なので、 \begin{align} \int_{0}^{\infty}{\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}s^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{s}{2}}ds}=1 \end{align} したがって、 \begin{align} M_X \left(t\right)= \left(1-2t\right)^{-\frac{m}{2}} \end{align} $\blacksquare$
〔2〕再生性
〔1〕の結果より、$X$ と $Y$ のモーメント母関数は、 \begin{gather} M_X \left(t\right)= \left(1-2t\right)^{-\frac{m}{2}}\\ M_Y \left(t\right)= \left(1-2t\right)^{-\frac{n}{2}} \end{gather} $X$ と $Y$ が互いに独立なとき、モーメント母関数の性質 \begin{align} M_Z \left(t\right)=M_X \left(t\right) \cdot M_Y \left(t\right) \end{align} より、 \begin{align} M_Z \left(t\right)&= \left(1-2t\right)^{-\frac{m}{2}} \cdot \left(1-2t\right)^{-\frac{n}{2}}\\ &= \left(1-2t\right)^{-\frac{m+n}{2}} \end{align} これは、$\chi^2$分布 $\chi^2 \left(m+n\right)$ のモーメント母関数とみなすことができる。
したがって、モーメント母関数の一意性により、 \begin{align} Z \sim \chi^2 \left(m+n\right) \end{align} $\blacksquare$
〔3〕比の分布
確率変数の独立性の定義式 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 \begin{align} f \left(x,y\right)&=\frac{1}{2^\frac{m}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)}x^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2^\frac{n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}y^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{y}{2}}\\ &=\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{m}{2}-1} \cdot y^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{x+y}{2}} \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}w=\frac{x}{x+y}\\z=x+y\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=wz\\y=z-wz\\\end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix}x:0\rightarrow\infty\\y:0\rightarrow\infty\\\end{matrix}\right. \quad \Rightarrow \quad \left\{\begin{matrix}w:0\rightarrow1\\z:0\rightarrow\infty\\\end{matrix}\right. \end{gather} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} \left|J\right|&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial x}{\partial z}&\frac{\partial y}{\partial z}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}z&-z\\w&1-w\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|z \left(1-w\right)+wz\right|\\ &=z \end{align} 変数変換後の同時確率密度関数の公式 \begin{align} k \left(w,z\right)=f \left\{x \left(w,z\right),y \left(w,z\right)\right\} \left|J\right| \end{align} より、 \begin{align} k \left(w,z\right)&=f \left\{wz,z \left(1-w\right)\right\} \cdot z &=\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)} \left(wz\right)^{\frac{m}{2}-1} \cdot \left\{z \left(1-w\right)\right\}^{\frac{n}{2}-1} \cdot e^{-\frac{z}{2}} \cdot z\\ &=\frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}w^{\frac{m}{2}-1} \left(1-w\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot z^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac{z}{2}}\\ &=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}w^{\frac{m}{2}-1} \left(1-w\right)^{\frac{n}{2}-1} \cdot \frac{1}{2^\frac{m+n}{2} \cdot \Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}z^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac{z}{2}} \end{align} ここで、右辺第1項は、ベータ分布 \begin{align} \mathrm{Be} \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \end{align} の確率密度関数であり、 〔2〕の結果より、右辺第2項は、$\chi^2$分布 \begin{align} \chi^2 \left(m+n\right) \end{align} の確率密度関数である。 この式は、確率変数の独立性の定義式 $f \left(x,y\right)=g \left(x\right) \cdot h \left(y\right)$ を満たすので、$W$ と $Z$ は互いに独立に、 \begin{align} Z \sim \chi^2 \left(m+n\right) \quad W \sim \mathrm{Be} \left(\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right) \end{align} したがって、 \begin{align} f_W \left(w\right)=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}w^{\frac{m}{2}-1} \left(1-w\right)^{\frac{n}{2}-1} \end{align} $\blacksquare$
〔4〕ベータ分布の最頻値
まず、以下のようにおくと、 \begin{gather} \alpha=\frac{m}{2} \quad \beta=\frac{n}{2} \quad C=\frac{\Gamma \left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{m}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\\ f_W \left(w\right)=C \cdot w^{\alpha-1} \left(1-w\right)^{\beta-1} \end{gather} 1階微分を求めると、積の微分公式より、 \begin{align} f_W^\prime \left(w\right)&=C \left\{ \left(1-w\right)^{\beta-1} \cdot \frac{d}{dw} \left(w^{\alpha-1}\right)-w^{\alpha-1} \cdot \frac{d}{dw} \left(1-w\right)^{\beta-1}\right\}\\ &=C \left\{ \left(\alpha-1\right)w^{\alpha-2} \cdot \left(1-w\right)^{\beta-1}+w^{\alpha-1} \cdot \left(\beta-1\right) \left(1-w\right)^{\beta-2} \cdot \frac{d}{dw} \left(1-w\right)\right\}\\ &=C \left\{ \left(\alpha-1\right)w^{\alpha-2} \cdot \left(1-w\right)^{\beta-1}-w^{\alpha-1} \cdot \left(\beta-1\right) \left(1-w\right)^{\beta-2}\right\}\\ &=Cw^{\alpha-2} \left(1-w\right)^{\beta-2} \left\{ \left(\alpha-1\right) \left(1-w\right)- \left(\beta-1\right)w\right\}\\ &=Cw^{\alpha-2} \left(1-w\right)^{\beta-2} \left\{ \left(\alpha-1\right)- \left(\alpha+\beta-2\right)w\right\}\\ \end{align} 極値 $f_W^\prime \left(w\right)=0$ を求めると、 \begin{align} w=0 \quad w=1 \quad w=\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} \end{align} 増減表は、 \begin{array}{c|ccccc} w & 0 & \cdots & \displaystyle\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2} & \cdots & 1 \\ \hline f_W^\prime \left(w\right) & 0 & + & 0 & - & 0 \\ \hline f_W \left(w\right) & 0 & \nearrow & f \left(\displaystyle\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\right) & \searrow & 0 \\ \end{array} したがって、$1 \lt \alpha,1 \lt \beta$ のとき、$0 \lt w \lt 1$ の範囲で、 \begin{align} w&=\frac{\alpha-1}{\alpha+\beta-2}\\ &=\frac{\frac{m}{2}-1}{\frac{m}{2}+\frac{n}{2}-2}\\ &=\frac{m-2}{m+n-4} \end{align} が極大、かつ最大である。 $\blacksquare$
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