統計検定 1級 2012年 統計数理 問2 カイ2乗分布に関する問題

本稿には、2012年に実施された統計検定1級『統計数理』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕モーメント母関数の導出

モーメント母関数の定義式 $M_X\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(t\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{tx}\cdot \frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{x}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{x}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-(\frac{1}{2}-t)x}dx\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}(\frac{1}{2}-t)x=\frac{s}{2}\iff x=\frac{1}{1-2t}s\\ \frac{dx}{ds}=\frac{1}{1-2t}\Rightarrow dx=\frac{1}{1-2t}ds\\ x:0\to \mathrm{\infty }\Rightarrow s:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ となるので、 置換積分法により、 $$\begin{array}{rl}{M}_X\left(t\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{\left(\frac{s}{1-2t}\right)}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{s}{2}}\cdot \frac{1}{1-2t}ds\\ & ={\left(\frac{1}{1-2t}\right)}^{\frac{m}{2}}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{s}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{s}{2}}ds\end{array}$$ ここで、右辺の積分部分の中身は、${\chi }^2\left(m\right)$ の確率密度関数なので、 $$\begin{array}{r}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{s}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{s}{2}}ds=1\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(t\right)={(1-2t)}^{-\frac{m}{2}}\end{array}$$ $◼$

〔2〕再生性

〔1〕の結果より、$X$ と $Y$ のモーメント母関数は、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(t\right)={(1-2t)}^{-\frac{m}{2}}\\ M_Y\left(t\right)={(1-2t)}^{-\frac{n}{2}}\end{array}$$ $X$ と $Y$ が互いに独立なとき、モーメント母関数の性質 $$\begin{array}{r}{M}_Z\left(t\right)=M_X\left(t\right)\cdot M_Y\left(t\right)\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(t\right)& ={(1-2t)}^{-\frac{m}{2}}\cdot {(1-2t)}^{-\frac{n}{2}}\\ & ={(1-2t)}^{-\frac{m+n}{2}}\end{array}$$ これは、${\chi }^2$分布 ${\chi }^2(m+n)$ のモーメント母関数とみなすことができる。

したがって、モーメント母関数の一意性により、 $$\begin{array}{r}Z\sim {\chi }^2(m+n)\end{array}$$ $◼$

〔3〕比の分布

確率変数の独立性の定義式 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ より、同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{rl}f(x,y)& =\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)}{x}^{\frac{m}{2}-1}{e}^{-\frac{x}{2}}\cdot \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{y}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{y}{2}}\\ & =\frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{x}^{\frac{m}{2}-1}\cdot y^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{x+y}{2}}\end{array}$$ ここで、以下のように変数変換すると、 $$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}w=\frac{x}{x+y}\\ z=x+y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=wz\\ y=z-wz\end{array}\\ \{\begin{array}{c}x:0\to \mathrm{\infty }\\ y:0\to \mathrm{\infty }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}w:0\to 1\\ z:0\to \mathrm{\infty }\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}\left|J\right|& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial x}{\partial z}& \frac{\partial y}{\partial z}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}z& -z\\ w& 1-w\end{array}\right|\\ & =|z(1-w)+wz|\\ & =z\end{array}$$ 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $$\begin{array}{r}k(w,z)=f\{x(w,z),y(w,z)\}\left|J\right|\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rlr}k(w,z)& =f\{wz,z(1-w)\}\cdot z& =\frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{\left(wz\right)}^{\frac{m}{2}-1}\cdot {\left\{z(1-w)\right\}}^{\frac{n}{2}-1}\cdot e^{-\frac{z}{2}}\cdot z\\ & =\frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{w}^{\frac{m}{2}-1}{(1-w)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot z^{\frac{m+n}{2}-1}{e}^{-\frac{z}{2}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{w}^{\frac{m}{2}-1}{(1-w)}^{\frac{n}{2}-1}\cdot \frac{1}{2^{\frac{m+n}{2}}\cdot \mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{z}^{\frac{m+n}{2}-1}{e}^{-\frac{z}{2}}\end{array}$$ ここで、右辺第1項は、ベータ分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{Be}(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\end{array}$$ の確率密度関数であり、 〔2〕の結果より、右辺第2項は、${\chi }^2$分布 $$\begin{array}{r}{\chi }^2(m+n)\end{array}$$ の確率密度関数である。 この式は、確率変数の独立性の定義式 $f(x,y)=g\left(x\right)\cdot h\left(y\right)$ を満たすので、$W$ と $Z$ は互いに独立に、 $$\begin{array}{r}Z\sim {\chi }^2(m+n)W\sim \mathrm{Be}(\frac{m}{2},\frac{n}{2})\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{f}_W\left(w\right)=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}{w}^{\frac{m}{2}-1}{(1-w)}^{\frac{n}{2}-1}\end{array}$$ $◼$

〔4〕ベータ分布の最頻値

まず、以下のようにおくと、 $$\begin{array}{c}\alpha =\frac{m}{2}\beta =\frac{n}{2}C=\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{m}{2}\right)\mathrm{\Gamma }\left(\frac{n}{2}\right)}\\ f_W\left(w\right)=C\cdot w^{\alpha -1}{(1-w)}^{\beta -1}\end{array}$$ 1階微分を求めると、積の微分公式より、 $$\begin{array}{rl}{f}_W^{\prime }\left(w\right)& =C\{{(1-w)}^{\beta -1}\cdot \frac{d}{dw}\left(w^{\alpha -1}\right)-w^{\alpha -1}\cdot \frac{d}{dw}{(1-w)}^{\beta -1}\}\\ & =C\{(\alpha -1)w^{\alpha -2}\cdot {(1-w)}^{\beta -1}+w^{\alpha -1}\cdot (\beta -1){(1-w)}^{\beta -2}\cdot \frac{d}{dw}(1-w)\}\\ & =C\{(\alpha -1)w^{\alpha -2}\cdot {(1-w)}^{\beta -1}-w^{\alpha -1}\cdot (\beta -1){(1-w)}^{\beta -2}\}\\ & =C{w}^{\alpha -2}{(1-w)}^{\beta -2}\{(\alpha -1)(1-w)-(\beta -1)w\}\\ & =C{w}^{\alpha -2}{(1-w)}^{\beta -2}\{(\alpha -1)-(\alpha +\beta -2)w\}\end{array}$$ 極値 $f_W^{\prime }\left(w\right)=0$ を求めると、 $$\begin{array}{r}w=0w=1w=\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}\end{array}$$ 増減表は、 $$\begin{array}{cccccc}w& 0& \cdots & {\displaystyle \frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}& \cdots & 1\\ f_W^{\prime }\left(w\right)& 0& +& 0& -& 0\\ f_W\left(w\right)& 0& \nearrow & f\left({\displaystyle \frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\right)& \searrow & 0\end{array}$$ したがって、$1<\alpha ,1<\beta$ のとき、$0<w<1$ の範囲で、 $$\begin{array}{rl}w& =\frac{\alpha -1}{\alpha +\beta -2}\\ & =\frac{\frac{m}{2}-1}{\frac{m}{2}+\frac{n}{2}-2}\\ & =\frac{m-2}{m+n-4}\end{array}$$ が極大、かつ最大である。 $◼$

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