正規分布の標本分布の導出

正規分布のモーメント母関数の公式より、$X_i$ のモーメント母関数は、 \begin{align} M_{X_i} \left(\theta\right)=\mathrm{exp} \left(\mu\theta+\frac{1}{2}\sigma^2\theta^2\right) \end{align} モーメント母関数の定義式 $M_X \left(\theta\right)=E \left(e^{\theta X}\right)$ より、標本平均 $\bar{X}$ のモーメント母関数は、 \begin{align} M_{\bar{X}} \left(\theta\right)&=E \left(e^{\theta\bar{X}}\right)\\ &=E \left(e^{\theta \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i}\right)\\ \end{align} モーメント母関数の性質 $M_Y \left(\theta\right)=\prod_{i=1}^{n}{M_{X_i} \left(\theta\right)}$ より、 \begin{align} M_{\bar{X}} \left(\theta\right)&=\prod_{i=1}^{n}E \left(e^{\frac{\theta}{n}X_i}\right)\\ &=\prod_{i=1}^{n}{M_X \left(\frac{\theta}{n}\right)}\\ &=\prod_{i=1}^{n}{\mathrm{exp} \left(\mu \cdot \frac{\theta}{n}+\frac{1}{2n^2}\sigma^2\theta^2\right)}\\ &=\mathrm{exp} \left\{n \left(\mu \cdot \frac{\theta}{n}+\frac{1}{2n^2}\sigma^2\theta^2\right)\right\}\\ &=\mathrm{exp} \left(\mu\theta+\frac{1}{2n}\sigma^2\theta^2\right) \end{align} これは、正規分布のモーメント母関数において、 \begin{align} \mu\rightarrow\mu \quad \sigma^2\rightarrow\frac{\sigma^2}{n} \quad X\rightarrow\bar{X} \end{align} と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、標本平均は、正規分布 \begin{align} \bar{X} \sim \mathrm{N} \left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align} に従う。 $\blacksquare$

（I）正規分布の標本平均は、 \begin{align} \bar{X} \sim \mathrm{N} \left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align} $Z=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sigma}$ とすると、正規分布の標準化の性質より、 \begin{align} Z \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} $\chi^2$分布の定義より、 \begin{align} Z^2=\frac{n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sigma^2} \sim \chi^2 \left(1\right) \end{align} $\blacksquare$

（II）$Z_i=\frac{X_i-\mu}{\sigma}$ とすると、正規分布の標準化の性質より、 \begin{align} Z_i \sim \mathrm{N} \left(0,1\right) \end{align} $\chi^2$分布の定義より、 \begin{align} Z_i^2=\frac{ \left(X_i-\mu\right)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 \left(1\right) \end{align} $\chi^2$分布の再生性より、 \begin{align} \chi^2=\sum_{i=1}^{n}\frac{ \left(X_i-\mu\right)^2}{\sigma^2} \sim \chi^2 \left(n\right) \end{align} $\blacksquare$