正規分布の標本分布の導出

正規分布のモーメント母関数の公式より、$X_i$ のモーメント母関数は、 $$\begin{array}{r}{M}_{X_i}\left(\theta \right)=\exp (\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2)\end{array}$$ モーメント母関数の定義式 $M_X\left(\theta \right)=E\left(e^{\theta X}\right)$ より、標本平均 $\overline{X}$ のモーメント母関数は、 $$\begin{array}{rl}{M}_{\overline{X}}\left(\theta \right)& =E\left(e^{\theta \overline{X}}\right)\\ & =E\left(e^{\theta \cdot \frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i}\right)\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Y\left(\theta \right)=\prod _{i=1}^n{M}_{X_i}\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_{\overline{X}}\left(\theta \right)& =\prod _{i=1}^{n}E\left(e^{\frac{\theta }{n}{X}_i}\right)\\ & =\prod _{i=1}^n{M}_X\left(\frac{\theta }{n}\right)\\ & =\prod _{i=1}^n\exp (\mu \cdot \frac{\theta }{n}+\frac{1}{2n^2}{\sigma }^2{\theta }^2)\\ & =\exp \left\{n(\mu \cdot \frac{\theta }{n}+\frac{1}{2n^2}{\sigma }^2{\theta }^2)\right\}\\ & =\exp (\mu \theta +\frac{1}{2n}{\sigma }^2{\theta }^2)\end{array}$$ これは、正規分布のモーメント母関数において、 $$\begin{array}{r}\mu \to \mu {\sigma }^2\to \frac{{\sigma }^2}{n}X\to \overline{X}\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、標本平均は、正規分布 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim \mathrm{N}(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})\end{array}$$ に従う。 $◼$

（I）正規分布の標本平均は、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim \mathrm{N}(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})\end{array}$$ $Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }$ とすると、正規分布の標準化の性質より、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の定義より、 $$\begin{array}{r}{Z}^2=\frac{n(\overline{X}-\mu )}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ $◼$

（II）$Z_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }$ とすると、正規分布の標準化の性質より、 $$\begin{array}{r}{Z}_i\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の定義より、 $$\begin{array}{r}{Z}_i^2=\frac{{(X_i-\mu )}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(1\right)\end{array}$$ ${\chi }^2$分布の再生性より、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2=\sum _{i=1}^n\frac{{(X_i-\mu )}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2\left(n\right)\end{array}$$ $◼$