二変量正規分布の周辺確率分布と条件付き分布の導出

二変量正規分布の同時確率密度関数の定義式より、 $$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}Q(x,y)\}\end{array}$$ $Q(x,y)$ を変形すると、 $$\begin{array}{rl}Q(x,y)& ={\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_x}\right)}^2-2\rho \cdot \frac{(x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}+{\left(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}\right)}^2\\ & ={\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_x}\right)}^2+{\rho }^2{\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_x}\right)}^2-{\rho }^2{\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_x}\right)}^2-2\rho \cdot \frac{(x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}+{\left(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}\right)}^2\\ & =(1-{\rho }^2){\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X}\right)}^2+{\{\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}-\frac{\rho (x-{\mu }_X)}{{\sigma }_X}\}}^2\end{array}$$ $c={\mu }_Y+\rho \left(\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}\right)(x-{\mu }_X)$ とおくと、 $$\begin{array}{r}Q(x,y)=(1-{\rho }^2){\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X}\right)}^2+{\left(\frac{y-c}{{\sigma }_Y}\right)}^2\end{array}$$ 周辺確率分布の定義式 $g\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、$x$ の周辺確率分布は、 $$\begin{array}{rl}g\left(x\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \{-\frac{1}{2}{\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_X}\right)}^2-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}{\left(\frac{y-c}{{\sigma }_Y}\right)}^2\}dy\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_X^2}}\exp \{-\frac{{(x-{\mu }_X)}^2}{2{\sigma }_X^2}\}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}}\exp \{-\frac{{(y-c)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}\}dy\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_X^2}}\exp \{-\frac{{(x-{\mu }_X)}^2}{2{\sigma }_X^2}\}\cdot {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}}\exp \{-\frac{{(y-c)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}\}dy\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{r}h\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}}\exp \{-\frac{{(y-c)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}\}\end{array}$$ は、 正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}\{c,(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2\}\end{array}$$ の確率密度関数だとみることができる。 したがって、確率密度関数の性質 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f\left(x\right)dx=1$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_X^2}}\exp \{-\frac{{(x-{\mu }_X)}^2}{2{\sigma }_X^2}\}\end{array}$$ これは、正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}({\mu }_X,{\sigma }_X^2)\end{array}$$ の確率密度関数である。 $◼$

（i）$X=x$ が与えられたとき
二変量正規分布の同時確率密度関数の定義式より、 $$\begin{array}{c}f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_X{\sigma }_Y\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}Q(x,y)\}\\ Q(x,y)={\left(\frac{x-{\mu }_X}{{\sigma }_x}\right)}^2-2\rho \cdot \frac{(x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}+{\left(\frac{y-{\mu }_Y}{{\sigma }_Y}\right)}^2\end{array}$$ $c={\mu }_Y+\rho \left(\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}\right)(x-{\mu }_X)$ とおくと、 $$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_X^2}}\exp \{-\frac{{(x-{\mu }_X)}^2}{2{\sigma }_X^2}\}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}}\exp \{-\frac{{(y-c)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}\}\end{array}$$ $X$ の周辺確率密度関数を $g\left(x\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}({\mu }_X,{\sigma }_X^2)\end{array}$$ であるから、 条件付き分布の定義式 $h\left(y\right|x)=\frac{f(x,y)}{g\left(x\right)}$ より、 $$\begin{array}{r}h\left(y\right|x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}}\exp \{-\frac{{(y-c)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2}\}\end{array}$$ これは、正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}[{\mu }_Y+\rho \left(\frac{{\sigma }_Y}{{\sigma }_X}\right)(x-{\mu }_X),(1-{\rho }^2){\sigma }_Y^2]\end{array}$$ の確率密度関数だとみなすことができる。 $◼$

（ii）$Y=y$ が与えられたとき
（i）と同様に、$d={\mu }_X+\rho \left(\frac{{\sigma }_X}{{\sigma }_Y}\right)(y-{\mu }_Y)$ とおくと、 $$\begin{array}{r}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_X^2}}\exp \{-\frac{{(x-d)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_X^2}\}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }_Y^2}}\exp \{-\frac{{(y-{\mu }_Y)}^2}{2{\sigma }_Y^2}\}\end{array}$$ $Y$ の周辺確率密度関数を $h\left(y\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}Y\sim \mathrm{N}({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)\end{array}$$ であるから、 条件付き分布の定義式 $g\left(y\right|x)=\frac{f(x,y)}{h\left(x\right)}$ より、 $$\begin{array}{r}g\left(y\right|x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi (1-{\rho }^2){\sigma }_X^2}}\exp \{-\frac{{(x-d)}^2}{2(1-{\rho }^2){\sigma }_X^2}\}\end{array}$$ これは、正規分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{N}[{\mu }_X+\rho \left(\frac{{\sigma }_X}{{\sigma }_Y}\right)(y-{\mu }_Y),(1-{\rho }^2){\sigma }_X^2]\end{array}$$ の確率密度関数だとみなすことができる。 $◼$