正規分布の線形変換と再生性の証明

線形変換の公式 $g\left(y\right)=f\left(\frac{y-b}{a}\right)\cdot \frac{1}{\left|a\right|}$ より、 $$\begin{array}{rl}g\left(y\right)& =\frac{1}{\left|a\right|}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }\exp \{-\frac{1}{2{\sigma }^2}{(\frac{y-b}{a}-\mu )}^2\}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi a^2{\sigma }^2}}\exp \{-\frac{{\{y-(a\mu +b)\}}^2}{2a^2{\sigma }^2}\}\end{array}$$ これは、正規分布の確率密度関数 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}\mu \to a\mu +b{\sigma }^2\to a^2{\sigma }^{2}x\to y\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、確率密度関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、正規分布 $$\begin{array}{r}Y\sim \mathrm{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)\end{array}$$ に従う。 $◼$

正規分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Y\left(\theta \right)=e^{b\theta }{M}_X\left(a\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Y\left(\theta \right)& =e^{b\theta }\cdot e^{a\mu \theta +\frac{1}{2}{a}^2{\sigma }^2{\theta }^2}\\ & =e^{(a\mu +b)\theta +\frac{1}{2}{a}^2{\sigma }^2{\theta }^2}\end{array}$$ これは、正規分布のモーメント母関数において、 $$\begin{array}{r}\mu \to a\mu +b{\sigma }^2\to a^2{\sigma }^{2}X\to Y\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Y$ は、正規分布 $$\begin{array}{r}Y\sim \mathrm{N}(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)\end{array}$$ に従う。 $◼$

標準化の場合は、$a=\frac{1}{\sigma },b=-\frac{\mu }{\sigma }$ を代入して、 $$\begin{array}{c}a\mu +b=\frac{\mu }{\sigma }-\frac{\mu }{\sigma }=0\\ a^2{\sigma }^2=\frac{1}{{\sigma }^2}\cdot {\sigma }^2=1\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ $◼$

正規分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{c}{M}_X\left(\theta \right)=e^{{\mu }_1\theta +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{\theta }^2}\\ M_Y\left(\theta \right)=e^{{\mu }_2\theta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2{\theta }^2}\end{array}$$ モーメント母関数の性質 $M_Z\left(\theta \right)=M_X\left(\theta \right)\cdot M_Y\left(\theta \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_Z\left(\theta \right)& =e^{{\mu }_1\theta +\frac{1}{2}{\sigma }_1^2{\theta }^2}\cdot e^{{\mu }_2\theta +\frac{1}{2}{\sigma }_2^2{\theta }^2}\\ & =e^{({\mu }_1+{\mu }_2)\theta +\frac{1}{2}({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2){\theta }^2}\end{array}$$ これは、正規分布のモーメント母関数 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=e^{\mu \theta +\frac{1}{2}{\sigma }^2{\theta }^2}\end{array}$$ において、 $$\begin{array}{r}\mu \to {\mu }_1+{\mu }_2{\sigma }^2\to {\sigma }_1^2+{\sigma }_2^{2}X\to Z\end{array}$$ と置き換えたものとみなすことができる。 したがって、モーメント母関数の一意性により、確率変数 $Z$ は、正規分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)\end{array}$$ に従う。 $◼$