正規分布の母平均の信頼区間の導出

正規分布の標本平均の分布は、 $$\begin{array}{r}\overline{X}\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})\end{array}$$

（I）母分散が既知の場合
標本平均 $\overline{X}$ を標準化した値を $$\begin{array}{r}Z=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\end{array}$$ とすると、 標準化変換の性質より、 $$\begin{array}{r}Z\sim N(0,1)\end{array}$$ 標準正規分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P(-Z_{0.5\alpha }\le Z\le Z_{0.5\alpha })=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-Z_{0.5\alpha }\le \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\le Z_{0.5\alpha }\\ \overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\cdot Z_{0.5\alpha }\le \mu \le \overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\cdot Z_{0.5\alpha }\end{array}$$ $◼$

（II）母分散が未知の場合
標本平均 $\overline{X}$ を標本不偏分散で標準化した値を $$\begin{array}{r}t=\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{s}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}t\sim \mathrm{t}(n-1)\end{array}$$ $\mathrm{t}$分布の対称性から、 $$\begin{array}{r}P\{-t_{0.5\alpha }(n-1)\le t\le t_{0.5\alpha }(n-1)\}=1-\alpha \end{array}$$ したがって、母平均の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 信頼区間は、 $$\begin{array}{c}-t_{0.5\alpha }(n-1)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{s}\le t_{0.5\alpha }(n-1)\\ \overline{X}-\frac{s}{\sqrt{n}}\cdot t_{0.5\alpha }(n-1)\le \mu \le \overline{X}+\frac{s}{\sqrt{n}}\cdot t_{0.5\alpha }(n-1)\end{array}$$ $◼$