本稿では、正規分布の母平均の信頼区間を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- $Z_\alpha,t_\alpha \left(n\right)$ はそれぞれ標準正規分布と自由度 $n$ の $\mathrm{t}$分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
データの形式
確率変数 $X$ が正規分布 \begin{align} \mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots X_n\right\} \end{align} 標本平均と標本不偏分散を \begin{gather} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} \left(X_i-\bar{X}\right) \end{gather} とする。
【定理】正規分布の母平均の信頼区間
【定理】
正規分布の母平均の信頼区間
Confidence Intervals for The Population Mean of Normal Distributions
正規分布の母平均の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、
（I）母分散が既知の場合
\begin{align}
\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt n} \cdot Z_{0.5\alpha} \le \mu \le \bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt n} \cdot Z_{0.5\alpha}
\end{align}
（II）母分散が未知の場合
\begin{align}
\bar{X}-\frac{s}{\sqrt n} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n-1\right) \le \mu \le \bar{X}+\frac{s}{\sqrt n} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n-1\right)
\end{align}
で与えられる。
導出
正規分布の標本平均の分布は、 \begin{align} \bar{X} \sim N \left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) \end{align}
（I）母分散が既知の場合
標本平均 $\bar{X}$ を標準化した値を
\begin{align}
Z=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sigma}
\end{align}
とすると、
標準化変換の性質より、
\begin{align}
Z \sim N \left(0,1\right)
\end{align}
標準正規分布の対称性から、
\begin{align}
P \left(-Z_{0.5\alpha} \le Z \le Z_{0.5\alpha}\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、母平均の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、
\begin{gather}
-Z_{0.5\alpha} \le \frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{\sigma} \le Z_{0.5\alpha}\\
\bar{X}-\frac{\sigma}{\sqrt n} \cdot Z_{0.5\alpha} \le \mu \le \bar{X}+\frac{\sigma}{\sqrt n} \cdot Z_{0.5\alpha}
\end{gather}
$\blacksquare$
（II）母分散が未知の場合
標本平均 $\bar{X}$ を標本不偏分散で標準化した値を
\begin{align}
t=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{s}
\end{align}
とすると、
\begin{align}
t \sim \mathrm{t} \left(n-1\right)
\end{align}
$\mathrm{t}$分布の対称性から、
\begin{align}
P \left\{-t_{0.5\alpha} \left(n-1\right) \le t \le t_{0.5\alpha} \left(n-1\right)\right\}=1-\alpha
\end{align}
したがって、母平均の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 信頼区間は、
\begin{gather}
-t_{0.5\alpha} \left(n-1\right) \le \frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu\right)}{s} \le t_{0.5\alpha} \left(n-1\right)\\
\bar{X}-\frac{s}{\sqrt n} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n-1\right) \le \mu \le \bar{X}+\frac{s}{\sqrt n} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n-1\right)
\end{gather}
$\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.128
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.236-238, p.245 練習問題 ex.6.5.1
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