本稿では、正規分布の母平均に関する検定(Z検定)を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
- $Z_\alpha$ は標準正規分布の上側 $100\alpha\%$ 点を表しています。
データの形式
確率変数 $X$ が、母分散が既知の正規分布 \begin{align} X \sim \mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right) \end{align} に従い、 この分布からの大きさ $n$ の無作為標本を \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} 標本平均を \begin{gather} \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\\ \end{gather} とする。
【定理】正規分布の母平均に関する検定(Z検定)
【定理】
正規分布の母平均に関する検定(Z検定)
Z-Test for the Population Mean of Normal Distributions
正規分布の母平均 $\mu$ に関する検定問題
(I)両側検定
\begin{align}
H_0:\mu=\mu_0 \quad H_1:\mu \neq \mu_0
\end{align}
(II-A)片側検定A
\begin{align}
H_0:\mu \le \mu_0 \quad H_1:\mu \gt \mu_0
\end{align}
(II-B)片側検定B
\begin{align}
H_0:\mu \geq \mu_0 \quad H_1:\mu \lt \mu_0
\end{align}
を考える場合、
検定統計量を
\begin{align}
Z_0=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu_0\right)}{\sigma}
\end{align}
として、
(I)両側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_{0.5\alpha} \quad \mathrm{or} \quad Z_{0.5\alpha} \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
(II)片側検定
以下の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定は有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
(II-A)片側検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}Z_0 \lt Z_\alpha&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_\alpha \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
(II-B)片側検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_\alpha \lt Z_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_\alpha&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
Step.1 尤度比の算出
正規分布の母平均の最尤推定量は、 \begin{align} \hat{\mu}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \end{align} 両仮説の尤度比 $\lambda$ を計算すると(算出過程は省略)、 \begin{align} \lambda&=\frac{L \left(\mu=\mu_0;\boldsymbol{x}\right)}{L \left(\mu=\bar{x};\boldsymbol{x}\right)}\\ &=\frac{\prod_{i=1}^{n}f \left(x_i;\mu=\mu_0\right)}{\prod_{i=1}^{n}f \left(x_i;\mu=\bar{x}\right)}= \cdots \\ &=\mathrm{exp} \left\{-\frac{n}{2\sigma^2} \left(\bar{x}-\mu_0\right)^2\right\}\\ &=h \left(\bar{x}\right) \end{align} したがって、検定統計量 $T \left(\boldsymbol{X}\right)=\bar{x}$ が考えられる。
Step.2 検定統計量の対立仮説・帰無仮説における分布
(i)対立仮説における分布
正規分布の標本平均の分布は
\begin{align}
\bar{X} \sim N \left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)
\end{align}
(ii)帰無仮説における分布
帰無仮説 $H_0:\mu=\mu_0$ における標本平均の分布は、
\begin{align}
\bar{X} \sim \mathrm{N} \left(\mu_0,\frac{\sigma^2}{n}\right)
\end{align}
帰無仮説において、標本平均 $\bar{X}$ を標準化した値を
\begin{align}
Z_0=\frac{\sqrt n \left(\bar{X}-\mu_0\right)}{\sigma}
\end{align}
とすると、
標準化変換の性質より、
\begin{align}
Z_0 \sim N \left(0,1\right)
\end{align}
Step.3 検定関数と棄却域の型
(I)両側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力不偏検定となる。
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}a \le T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a \quad \mathrm{or} \quad b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{1}
\end{align}
(II)片側検定
ネイマン・ピアソンの基本定理と単調尤度比の原理により、次の棄却域と検定関数 $\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)$ をもつ検定が漸近的に有意水準を $\alpha$ とする一様最強力検定となる。
検定A
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}T \left(\boldsymbol{X}\right) \lt a&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\a \le T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{2}
\end{align}
検定B
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}b \lt T \left(\boldsymbol{X}\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\T \left(\boldsymbol{X}\right) \le b&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\tag{3}
\end{align}
Step.4 棄却域の設定
(I)両側検定
パーセント点の定義と標準正規分布の対称性から、
\begin{align}
P \left(-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(1)$ において、$a=-Z_{0.5\alpha},b=Z_{0.5\alpha}$ とすると、
\begin{gather}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_{0.5\alpha} \le Z_0 \le Z_{0.5\alpha}&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_{0.5\alpha} \quad \mathrm{or} \quad Z_{0.5\alpha} \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.\\
\end{gather}
(II-A)片側検定A
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left(Z_0 \le Z_\alpha\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(2)$ において、$a=Z_\alpha$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}Z_0 \lt Z_\alpha&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_\alpha \le Z_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
(II-B)片側検定B
パーセント点の定義より、
\begin{align}
P \left(-Z_\alpha \le Z_0\right)=1-\alpha
\end{align}
したがって、式 $(3)$ において、$b=-Z_\alpha$ とすると、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x}\right)= \left\{\begin{matrix}-Z_\alpha \lt Z_0&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\Z_0 \le -Z_\alpha&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計:明解演習. 共立出版, 1986, p.128
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.272
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