本稿では、条件付き確率分布の特性値についてまとめています。条件付き期待値、条件付き分散、条件付き共分散の定義や条件付き期待値の基本性質、条件付き分散の公式、全分散の法則、条件付き共分散の公式、全共分散の法則の紹介が含まれます。
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条件付き期待値
確率変数 $X,Y$ に対し、$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き確率（密度）関数を $g \left(\ x\ \middle|\ y\ \right)$ としたとき、 \begin{align} E \left(\ X\ \middle|\ Y=y\ \right)= \left\{\begin{matrix}\sum_{x=-\infty}^{\infty}{x \cdot g \left(\ x\ \middle|\ y\ \right)}&\mathrm{\mathrm{Discrete}}\\\int_{-\infty}^{\infty}{x \cdot g \left(\ x\ \middle|\ y\ \right)dx}&\mathrm{\mathrm{Continuous}}\\\end{matrix}\right. \end{align} を $Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き期待値 conditional expected value という。 なお、条件付き期待値を \begin{align} E \left(\ X\ \middle|\ y\ \right) \end{align} と書くこともある。
一般に、確率変数 $X$ の関数 $h \left(X\right)$ の条件付き期待値は、 \begin{align} E \left\{\ h \left(X\right)\ \middle|\ y\ \right\}= \left\{\begin{matrix}\sum_{x=-\infty}^{\infty}{h \left(x\right) \cdot g \left(\ x\ \middle|\ y\ \right)}&\mathrm{\mathrm{Discrete}}\\\int_{-\infty}^{\infty}{h \left(x\right) \cdot g \left(\ x\ \middle|\ y\ \right)dx}&\mathrm{\mathrm{Continuous}}\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。 条件付き期待値 $E \left(\ X\ \middle|\ y\ \right)$ は、確率変数 $Y$ の関数であり、それ自体確率変数であると言える。
条件付き期待値の基本性質
【定理】
条件付き期待値の基本性質
Basic Properties of Conditional Expected Value
（I）独立な確率変数の条件付き期待値
確率変数 $X,Y$ が互いに独立のとき、
\begin{gather}
E \left(\ X\ \middle|\ Y=y\ \right)=E \left(X\right)\\
E \left(\ Y\ \middle|\ X=x\ \right)=E \left(Y\right)
\end{gather}
が成り立つ。
（II）期待値の繰り返し公式
『確率変数 $X$ の期待値』は、『「$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き期待値」の期待値』に等しい、すなわち、
\begin{align}
E \left(X\right)=E \left[E \left(X\middle| y\right)\right]
\end{align}
が成り立つ。
（III）期待値の繰り返し公式の一般化
確率変数 $X,Y$ の任意の関数 $m \left(X,Y\right)$ の期待値は、『「$Y=y$ を与えたときの $m \left(X,y\right)$ （$X$ の関数）の条件付き期待値」の期待値』、あるいは、『「$X=x$ を与えたときの $m \left(x,Y\right)$ （$Y$ の関数）の条件付き期待値」の期待値』に等しい、すなわち、
\begin{align}
E \left[m \left(X,Y\right)\right]=E \left[E \left\{m \left(X,y\right)\middle| y\right\}\right]=E \left[E \left\{m \left(x,Y\right)\middle| x\right\}\right]
\end{align}
が成り立つ。
条件付き分散
確率変数 $X,Y$ に対し、$Y=y$ を与えたときの $X$ の分散 \begin{align} V \left(\ X\ \middle|\ y\ \right)=E \left[ \left. \left\{X-E \left(\ X\ \middle|\ y\ \right)\right\}^2\right|y\right] \end{align} を $Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き分散 conditional variance という。
条件付き分散の公式
【公式】
条件付き分散の公式
Conditional Variance Formula
確率変数 $X,Y$ に対し、$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き分散について、 \begin{align} V \left(X\middle| y\right)=E \left(X^2\middle| y\right)- \left\{E \left(X\middle| y\right)\right\}^2 \end{align} が成り立つ。
全分散の法則
【定理】
条件付き分散の基本性質（全分散の法則）
Basic Property of Conditional Variance (Law of total variance)
確率変数 $X,Y$ について、「確率変数 $X$ の分散」は、 「$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き分散の期待値」 と 「$Y=y$ を与えたときの $X$ の条件付き期待値の分散」 の和に等しい、 すなわち、 \begin{align} V \left(X\right)=E \left[V \left(X\middle| y\right)\right]+V \left[E \left(X\middle| y\right)\right] \end{align} が成り立つ。
条件付き共分散
確率変数 $X,Y,Z$ に対し、$Z=z$ を与えたときの $X,Y$ の共分散 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\middle| z\right)=E \left[ \left\{X-E \left(X\middle| z\right)\middle| z\right\} \left\{Y-E \left(Y\middle| z\right)\middle| z\right\}\right] \end{align} を $Z=z$ を与えたときの $X,Y$ の条件付き共分散 conditional covariance という。
条件付き共分散の公式
【公式】
条件付き共分散の公式
Conditional Covariance Formula
$Z=z$ を与えたときの $X,Y$ の条件付き共分散は、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\middle| z\right)=E \left(XY\middle| z\right)-E \left(X\middle| z\right)E \left(Y\middle| z\right) \end{align} で与えられる。
全共分散の法則
【定理】
条件付き共分散の基本性質（全共分散の法則）
Basic Property of Conditional Covariance (Law of Total Covariance)
確率変数 $X,Y,Z$ について、$X$ と $Y$ の共分散は、 「$Z=z$ を与えたときの $X,Y$ の条件付き共分散の期待値」 と 「$Z=x$ を与えたときの $X,Y$ の条件付き期待値の共分散」 の和に等しい、 すなわち、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=E \left[\mathrm{Cov} \left(X,Y\middle| z\right)\right]+\mathrm{Cov} \left[E \left(X\middle| z\right),E \left(Y\middle| z\right)\right] \end{align} が成り立つ。
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.91-95
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.51-55
- 東京大学教養学部統計学教室 編. 基礎統計学 1 統計学入門. 東京大学出版会, 1991, p.142-145
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.65-68
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.48-50
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