ボンフェローニの不等式の証明-あるノマドの知の旅路～数学・統計学への道

ボンフェローニの不等式の証明

公開日： 2023/03/02

本稿では、ボンフェローニの不等式を証明しています。この定理は、統計学にはそこまで頻繁には登場しませんが、多重比較法における基本的な有意水準の調整法であるボンフェローニ法の基礎となるため、重要な定理です。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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目次[非表示]

1.【定理】ボンフェローニの不等式
- 1.1.証明
2.参考文献
3.関連記事

【定理】ボンフェローニの不等式

【定理】
ボンフェローニの不等式
Bonferroni’s Inequality

事象 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ の起こる確率について、 $\begin{array}{r} P (⋂_{i = 1}^{n} A_{i}) \geq 1 - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{c}) \end{array}$ が成り立つ。

証明

ド・モルガンの法則 $⋂_{i = 1}^{n} A_{i} = {(⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C})}^{C}$ より、 $\begin{array}{r} P (⋂_{i = 1}^{n} A_{i}) = P {{(⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C})}^{C}} \end{array}$ 確率の基本性質 $P (A^{C}) = 1 - P (A)$ より、 $A = ⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C}$ と考えると $\begin{array}{r} P {{(⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C})}^{C}} = 1 - P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C}) \end{array}$ ブールの不等式 $P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i})$ より、 $\begin{matrix} P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C}) \leq \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{C}) \\ - P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{C}) \\ 1 - P (⋃_{i = 1}^{n} A_{i}^{C}) \geq 1 - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{C}) \end{matrix}$ したがって、 $\begin{array}{r} P (⋂_{i = 1}^{n} A_{i}) \geq 1 - \sum_{i = 1}^{n} P (A_{i}^{c}) \end{array}$ $◼$

参考文献

野田一雄, 宮岡悦良著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.29 章末問題 1.B.4
黒木学著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.36. 問題2.2

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