指数分布の期待値・分散の導出

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}x\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx\end{array}$$ 部分積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx& ={[-x\cdot e^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-e^{-\lambda x}dx\\ & =-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cdot e^{-\lambda x}+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}dx\end{array}$$ ここで、ロピタルの定理より、 $$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x{e}^{-\lambda x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x}{e^{\lambda x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\lambda e^{\lambda x}}=0\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-\lambda x}dx\\ & ={[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =-\frac{1}{\lambda }(\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{-\lambda x}-e^0)\\ & =-\frac{1}{\lambda }(0-1)\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}x\cdot 0dx+{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx\\ & ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx\end{array}$$ 部分積分法により、 $$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx& ={[-x^2\cdot e^{-\lambda x}]}_0^{\mathrm{\infty }}-{\int }_0^{\mathrm{\infty }}-2x\cdot e^{-\lambda x}dx\\ & =-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2\cdot e^{-\lambda x}+\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot \lambda e^{-\lambda x}dx\end{array}$$ ここで、ロピタルの定理より、 $$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}^2{e}^{-\lambda x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{e^{\lambda x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{\lambda e^{\lambda x}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{{\lambda }^2{e}^{\lambda x}}=0\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=\frac{2}{\lambda }{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot e^{-\lambda x}dx\end{array}$$ ここで、（i）の結果より、${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x\cdot e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda }$ なので、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=\frac{2}{\lambda }\cdot \frac{1}{\lambda }=\frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(X\right)=\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}=\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$ $◼$

（i）期待値
指数分布のモーメント母関数の公式より、 $$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=\frac{\lambda }{\lambda -\theta }\end{array}$$ モーメント母関数の1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(1\right)}\left(\theta \right)& =-\frac{\lambda }{{(\lambda -\theta )}^2}\cdot \frac{d}{d\theta }(\lambda -\theta )\\ & =\frac{\lambda }{{(\lambda -\theta )}^2}\end{array}$$ 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(1\right)}\left(0\right)=E\left(X\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\frac{\lambda }{{\lambda }^2}\\ & =\frac{1}{\lambda }\end{array}$$ $◼$

（ii）分散
モーメント母関数の2階微分を求めると、合成関数の微分法より、 $$\begin{array}{rl}{M}_X^{\left(2\right)}\left(\theta \right)& =-2\cdot \frac{\lambda }{{(\lambda -\theta )}^3}\cdot \frac{d}{d\theta }(\lambda -\theta )\\ & =\frac{2\lambda }{{(\lambda -\theta )}^3}\end{array}$$ 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $M_X^{\left(2\right)}\left(0\right)=E\left(X^2\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =\frac{2\lambda }{{\lambda }^3}\\ & =\frac{2}{{\lambda }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{2}{{\lambda }^2}-\frac{1}{{\lambda }^2}\\ & =\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$ $◼$