定積分の性質と計算

$F \left(x\right)$ を $f \left(x\right)$ の1つの不定積分、すなわち \begin{gather} F \left(x\right)=\int f \left(x\right)dx\tag{1} \end{gather} とする。 このとき、 \begin{gather} x=g \left(t\right) \end{gather} とおくと、 \begin{gather} F \left[g \left(t\right)\right] \end{gather} は $t$ の関数となる。 この関数を $t$ で微分すると、合成関数の微分法より、 \begin{align} \frac{d}{dt}F \left[g \left(t\right)\right]&=\frac{d}{dx}F \left(x\right) \cdot \frac{dx}{dt}\\ &=f \left(x\right) \cdot g^\prime \left(t\right)\\ &=f \left[g \left(t\right)\right] \cdot g^\prime \left(t\right)\tag{2} \end{align} 式 $(2)$ の両辺を $t$ で積分すると、 \begin{gather} F \left[g \left(t\right)\right]=\int{f \left[g \left(t\right)\right] \cdot g^\prime \left(t\right)dt} \end{gather} 式 $(1)$ より、 \begin{gather} F \left[g \left(t\right)\right]=\int{f \left[g \left(t\right)\right] \cdot g^\prime \left(t\right)dt}=\int f \left(x\right)dx=F \left(x\right) \end{gather} $\blacksquare$

この定積分を考えると、 \begin{align} \int_{\alpha}^{\beta}{f \left[g \left(t\right)\right] \cdot g^\prime \left(t\right)dt}&= \left[F \left\{g \left(t\right)\right\}\right]_\alpha^\beta\\ &=F \left\{g \left(\beta\right)\right\}-F \left\{g \left(\alpha\right)\right\}\\ &= \left[F \left(x\right)\right]_{g \left(\alpha\right)}^{g \left(\beta\right)}\\ &=\int_{g \left(\alpha\right)}^{g \left(\beta\right)}f \left(x\right)dx \end{align} $\blacksquare$

$-a$ から $a$ までの積分区間を2つに分けると、 \begin{gather} \int_{-a}^{a}f \left(x\right)dx=\int_{-a}^{0}f \left(x\right)dx+\int_{0}^{a}f \left(x\right)dx\tag{1} \end{gather} 右辺の第1項の積分で $x=-t$ とおくと、 \begin{align} \int_{-a}^{0}f \left(x\right)dx&=\int_{a}^{0}f \left(-t\right) \left(-dt\right)\\ &=\int_{0}^{a}f \left(-t\right)dt \end{align} したがって、式 $(1)$ より \begin{gather} \int_{-a}^{a}f \left(x\right)dx=\int_{0}^{a} \left\{f \left(x\right)+f \left(-x\right)\right\}dx \end{gather} したがって、偶関数 $f \left(x\right)=f \left(-x\right)$ の場合は、 \begin{gather} \int_{-a}^{a}f \left(x\right)dx=2\int_{0}^{a}f \left(x\right)dx \end{gather} 奇関数 $f \left(x\right)=-f \left(-x\right)$ の場合は、 \begin{gather} \int_{-a}^{a}f \left(x\right)dx=0 \end{gather} $\blacksquare$

$a-x=t$ とおくと、 \begin{align} \int_{0}^{a}f \left(a-x\right)dx&=\int_{a}^{0}f \left(t\right) \left(-dt\right)\\ &=\int_{0}^{a}f \left(t\right)dt\\ &=\int_{0}^{a}f \left(x\right)dx \end{align} $x-m=t$ とおくと、 \begin{gather} \int_{a+m}^{b+m}f \left(x-m\right)dx=\int_{a}^{b}f \left(t\right)dt=\int_{a}^{b}f \left(x\right)dx \end{gather} $\blacksquare$

積の微分公式より、 \begin{gather} \left\{f \left(x\right) \cdot g \left(x\right)\right\}^\prime=f \left(x\right) \cdot g^\prime \left(x\right)+f^\prime \left(x\right) \cdot g \left(x\right) \end{gather} 両辺の定積分を考えると、 \begin{gather} \left[f \left(x\right)g \left(x\right)\right]_a^b=\int_{a}^{b}{f \left(x\right) \cdot g^\prime \left(x\right)dx}+\int_{a}^{b}{f^\prime \left(x\right) \cdot g \left(x\right)dx}\\ \int_{a}^{b}{f \left(x\right)g^\prime \left(x\right)dx}= \left[f \left(x\right)g \left(x\right)\right]_a^b-\int_{a}^{b}{f^\prime \left(x\right)g \left(x\right)dx} \end{gather} $\blacksquare$