定積分の性質と計算

$f,g$ を区間 $I$ で連続な関数、$F$ を $f$ の1つの原始関数、$I$の任意の2点を $a,b$ とするとき、次のことが成り立つ。

①微分と積分の関係 $$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f\left(t\right)dt=f\left(x\right)\end{array}$$

②微分積分学の基本定理 $$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)\end{array}$$

③ $$\begin{array}{c}{\int }_a^{a}f\left(x\right)dx=0\end{array}$$

④ $$\begin{array}{c}{\int }_b^{a}f\left(x\right)dx=-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\end{array}$$

⑤ $$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_a^{c}f\left(x\right)dx+{\int }_c^{b}f\left(x\right)dx\end{array}$$

⑥ $$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}kf\left(x\right)dx=k{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\end{array}$$

⑦ $$\begin{array}{c}{\int }_a^b\{f\left(x\right)+g\left(x\right)\}dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx+{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\end{array}$$

⑧ $$\begin{array}{c}{\int }_a^b\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\}dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx-{\int }_a^{b}g\left(x\right)dx\end{array}$$

① $$\begin{array}{c}{\int }_a^b{x}^{n}dx={\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]}_a^{b}n\ne -1\end{array}$$ ② $$\begin{array}{c}{\int }_a^b{e}^{x}dx={\left[e^x\right]}_a^b\end{array}$$ ③ $$\begin{array}{c}{\int }_a^b{t}^{x}dx={\left[\frac{t^x}{\log t}\right]}_a^b\end{array}$$ ④ $$\begin{array}{c}{\int }_a^b\frac{1}{x}dx={[\log \left|x\right|]}_a^{b}x\ne 0\end{array}$$ ⑤ $$\begin{array}{c}{\int }_a^b\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx={[\log \left|f\left(x\right)\right|]}_a^{b}f\left(x\right)\ne 0\end{array}$$

関数 $f\left(x\right)$ は区間 $I$ で定義された連続な関数、関数 $g\left(t\right)$ は区間 $J$ で定義された関数で、$J$ において微分可能で導関数 $g^{\prime }\left(t\right)$ が存在し、連続であるとする。

いま、 $$\begin{array}{c}x=g\left(t\right)\end{array}$$ が成り立ち、 $f\left(x\right)$ は $t$ が $J$ を動いたときの $g\left(t\right)$ の値全体を含むある区間 $I$ で定義されており、$\alpha ,\beta$ を $J$ に属する任意の2つの数とする。

このとき $$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f\left[g\left(t\right)\right]\cdot g^{\prime }\left(t\right)dt\\ g\left(\alpha \right)=ag\left(\beta \right)=b\end{array}$$ が成り立つ。

①偶関数の定積分
$f\left(x\right)$ が偶関数ならば、 $$\begin{array}{c}{\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=2{\int }_0^{a}f\left(x\right)dx\end{array}$$

②奇関数の定積分
$f\left(x\right)$ が奇関数ならば、 $$\begin{array}{c}{\int }_{-a}^{a}f\left(x\right)dx=0\end{array}$$

$$\begin{array}{c}{\int }_0^{a}f(a-x)dx={\int }_0^{a}f\left(x\right)dx\end{array}$$ $$\begin{array}{c}{\int }_{a+m}^{b+m}f(x-m)dx={\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\end{array}$$

2つの関数 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ の積の積分について、 $$\begin{array}{c}{\int }_a^{b}f\left(x\right)g^{\prime }\left(x\right)dx={\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }\left(x\right)g\left(x\right)dx\end{array}$$ が成り立つ。