2次元確率変数の和の確率密度関数の導出

次のような変数変換を行うと、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}w=x\\ s=x+y\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}x=w\\ y=s-w\end{array}\end{array}$$ 変数変換のヤコビアンは、 $$\begin{array}{rl}J& =\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial s}& \frac{\partial y}{\partial s}\\ \frac{\partial x}{\partial w}& \frac{\partial y}{\partial w}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right|\\ & =|-1|\\ & =1\end{array}$$ このとき、$w,s$ の同時確率密度関数 $g(w,s)=f\{x(w,s),y(w,s)\}\left|J\right|$ は、 $$\begin{array}{r}g(w,s)=f(w,s-w)\end{array}$$ よって、周辺確率密度関数の定義式 $f\left(x\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$ より、$S$ の周辺確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}g\left(s\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(w,s-w)dw={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,s-x)dx\end{array}$$ $◼$