2次元確率変数の和の確率密度関数の導出

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【2023年3月2週】 【B000】数理統計学 【B020】確率変数と確率分布

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本稿では、2次元確率変数の和の確率密度関数の公式を導出しています。

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【公式】2次元確率変数の和の確率密度関数

【公式】
2次元確率変数の和の確率密度関数
Probability Density Function of Sum of Random Variables

連続型確率変数 $X,Y$ の同時確率密度関数を \begin{gather} f \left(x,y\right) \end{gather} とするとき、 \begin{gather} S=X+Y \end{gather} の確率密度関数は、 \begin{align} g \left(s\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,s-x\right)dx \end{align} で与えられる。

導出

導出

次のような変数変換を行うと、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}w=x\\s=x+y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=w\\y=s-w\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial s}\\\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}0&1\\1&-1\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|-1\right|\\ &=1 \end{align} このとき、$w,s$ の同時確率密度関数 $g \left(w,s\right)=f \left\{x \left(w,s\right),y \left(w,s\right)\right\} \left|J\right|$ は、 \begin{align} g \left(w,s\right)=f \left(w,s-w\right) \end{align} よって、周辺確率密度関数の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$S$ の周辺確率密度関数は、 \begin{align} g \left(s\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(w,s-w\right)dw=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,s-x\right)dx \end{align} $\blacksquare$

参考文献

  • 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.66-67

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大学時代に読書の面白さに気づいて以来、読書や勉強を通じて、興味をもったことや新しいことを学ぶことが生きる原動力。そんな人間が、その時々に学んだことを備忘録兼人生の軌跡として記録しているブログです。

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