2次元確率変数の和の確率密度関数の導出

次のような変数変換を行うと、 \begin{align} \left\{\begin{matrix}w=x\\s=x+y\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=w\\y=s-w\\\end{matrix}\right. \end{align} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} J&= \left|\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial s}&\frac{\partial y}{\partial s}\\\frac{\partial x}{\partial w}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|\begin{matrix}0&1\\1&-1\\\end{matrix}\right|\\ &= \left|-1\right|\\ &=1 \end{align} このとき、$w,s$ の同時確率密度関数 $g \left(w,s\right)=f \left\{x \left(w,s\right),y \left(w,s\right)\right\} \left|J\right|$ は、 \begin{align} g \left(w,s\right)=f \left(w,s-w\right) \end{align} よって、周辺確率密度関数の定義式 $f \left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,y\right)dy$ より、$S$ の周辺確率密度関数は、 \begin{align} g \left(s\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(w,s-w\right)dw=\int_{-\infty}^{\infty}f \left(x,s-x\right)dx \end{align} $\blacksquare$