確率積分変換

（i）累積分布関数の定義から、$P(Y<0)=P(1<Y)=0$ であり、$Y$ の定義域は、$0\le Y\le 1$ である。 $$\begin{array}{rl}G\left(y\right)& =P(Y\le y)\\ & =P\{F\left(X\right)\le y\}\\ & =P\{X\le F^{-1}\left(y\right)\}\\ & =F\left\{F^{-1}\left(y\right)\right\}\\ & =y\end{array}$$ これは、区間 $(0,1)$ の一様分布の累積分布関数であるから、累積分布関数の一意性により、$Y$ は区間 $(0,1)$ の一様分布に従う。

（ii）$0\le G\left(y\right)\le 1$ について、 $$\begin{array}{r}P(Y\le y)=P\{G^{-1}\left\{F\left(X\right)\right\}\le y\}=P\{F\left(X\right)\le G\left(y\right)\}\end{array}$$ （i）より、$F\left(X\right)$ は、区間 $(0,1)$ の一様分布に従うので、一様分布の分布関数 $F\left(x\right)=x$ より、 $$\begin{array}{r}P\{F\left(X\right)\le G\left(y\right)\}=G\left(y\right)\end{array}$$ $◼$