本稿では、確率積分変換を証明しています。
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【命題】確率積分変換
【命題】
確率積分変換
Probability Integral Transformation
連続型確率変数 $X$ の累積分布関数と確率密度関数をそれぞれ、 \begin{gather} F \left(x\right) \quad f \left(x\right) \end{gather} とし、 \begin{gather} G \end{gather} を任意の連続型累積分布関数とする。
（i） \begin{gather} Y=F \left(X\right) \end{gather} という変数変換をすると、 $Y$ は一様分布 \begin{gather} Y \sim \mathrm{U} \left(0,1\right) \end{gather} に従う。
（ii） \begin{gather} Y=G^{-1} \left\{F \left(X\right)\right\} \end{gather} という変数変換をすると、 $Y$ の累積分布関数は $G$ である。 ここで、 \begin{align} G^{-1} \left(y\right)=\mathrm{inf} \left\{x:y \le G \left(x\right),0 \lt y \lt 1\right\} \end{align}
証明
（i）累積分布関数の定義から、$P \left(Y \lt 0\right)=P \left(1 \lt Y\right)=0$ であり、$Y$ の定義域は、$0 \le Y \le 1$ である。 \begin{align} G \left(y\right)&=P \left(Y \le y\right)\\ &=P \left\{F \left(X\right) \le y\right\}\\ &=P \left\{X \le F^{-1} \left(y\right)\right\}\\ &=F \left\{F^{-1} \left(y\right)\right\}\\ &=y \end{align} これは、区間 $ \left(0,1\right)$ の一様分布の累積分布関数であるから、累積分布関数の一意性により、$Y$ は区間 $ \left(0,1\right)$ の一様分布に従う。
（ii）$0 \le G \left(y\right) \le 1$ について、 \begin{align} P \left(Y \le y\right)=P \left\{G^{-1} \left\{F \left(X\right)\right\} \le y\right\}=P \left\{F \left(X\right) \le G \left(y\right)\right\} \end{align} （i）より、$F \left(X\right)$ は、区間 $ \left(0,1\right)$ の一様分布に従うので、一様分布の分布関数 $F \left(x\right)=x$ より、 \begin{align} P \left\{F \left(X\right) \le G \left(y\right)\right\}=G \left(y\right) \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.63-64
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.24
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