統計検定 1級 2015年 医薬生物学 問4 ロジスティック回帰分析

本稿には、2015年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕有害事象の発現割合の差の最尤推定量

$T$ 群の有害事象の発現度数を $n_T$、$C$ 群の発現度数を $n_C$ とすると、$n_T$ と $n_C$ は独立に、それぞれ $$\begin{array}{r}{n}_T\sim \mathrm{B}(200,{\pi }_T)n_C\sim \mathrm{B}(200,{\pi }_C)\end{array}$$ 二項分布の最尤推定量の公式 $\hat{\pi }=\frac{X}{n}$ より、 $$\begin{array}{r}{\hat{\pi }}_T=\frac{n_T}{200}{\hat{\pi }}_C=\frac{n_C}{200}\end{array}$$ したがって、有害事象の発現割合の差 $d={\pi }_T-{\pi }_C$ の最尤推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{d}={\hat{\pi }}_T-{\hat{\pi }}_C\end{array}$$ $◼$

〔2〕交絡因子の影響

問題文の条件より、重症度スコアは治療 $T$ の受けやすさと有害事象の発生の両方に影響している。この重症度スコアが中間因子ではない場合、交絡因子として（治療 $T$ にとって不利な方向へと）結果に影響を与えている可能性がある。そのため、このような交絡因子の影響を除いた解析を行う必要があると考えられる。 $◼$

〔3〕ロジスティック回帰モデルの性質

（1）有害事象の発現オッズ比
治療 $T$ の有害事象の発現対数オッズは、 $$\begin{array}{rl}\log \frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}& ={\beta }_0+{\beta }_1\cdot 1+{\beta }_{2}Z\\ & ={\beta }_0+{\beta }_1+{\beta }_{2}Z\end{array}$$ 治療 $C$ の有害事象の発現対数オッズは、 $$\begin{array}{rl}\log \frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}& ={\beta }_0+{\beta }_1\cdot 0+{\beta }_{2}Z\\ & ={\beta }_0+{\beta }_{2}Z\end{array}$$ したがって、治療 $T$ の治療 $C$ に対する発現対数オッズ比は、 $$\begin{array}{rl}\log \frac{\frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}}{\frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}}& =\log \frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}-\log \frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}\\ & ={\beta }_0+{\beta }_1+{\beta }_{2}Z-({\beta }_0+{\beta }_{2}Z)\\ & ={\beta }_1\end{array}$$ 両辺のネイピアの数を底とする指数を取ると、発現オッズ比は、 $$\begin{array}{r}\frac{\frac{{\pi }_T}{1-{\pi }_T}}{\frac{{\pi }_C}{1-{\pi }_C}}=e^{{\beta }_1}\end{array}$$ $◼$

（2）重症度スコアが1単位増加したときのオッズ比
例えば、$Z=0$ のときの治療 $C$ に対する発現対数オッズは、 $$\begin{array}{r}\log {\mathrm{OR}}_C(Z=0)={\beta }_0\end{array}$$ $Z=1$ のときは、 $$\begin{array}{r}\log {\mathrm{OR}}_C(Z=1)={\beta }_0+{\beta }_2\end{array}$$ したがって、オッズ比は、 $$\begin{array}{c}\log \frac{{\mathrm{OR}}_C(Z=1)}{{\mathrm{OR}}_C(Z=0)}={\beta }_0+{\beta }_2-{\beta }_0={\beta }_2\\ \frac{{\mathrm{OR}}_C(Z=1)}{{\mathrm{OR}}_C(Z=0)}=e^{{\beta }_2}\end{array}$$ $◼$

〔4〕カテゴリー変数を用いる際のロジスティック回帰モデル

たとえば、重症度のスコアの名義変数に対して、次のダミー変数を用意する。 $$\begin{array}{r}{Z}_1=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{Middle}\\ 0& \mathrm{other}\end{array}{Z}_2=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{Heavy}\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ このダミー変数を使用して、次のロジスティック回帰モデルを適用する。 $$\begin{array}{r}\log \frac{{\pi }_i}{1-{\pi }_i}={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{Z}_1+{\beta }_3{Z}_2\end{array}$$ $◼$

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