統計検定 1級 2017年 医薬生物学 問1 生存時間分析

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕イベント確率密度関数と生存関数・ハザード関数の関係

条件付き確率の定義より、 $$\begin{array}{rl}\lambda \left(t\right)& =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}P(t\le T\le t+\mathrm{\Delta }t|t\le T)\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{\Delta }t}\frac{P(t\le T\le t+\mathrm{\Delta }t,t\le T)}{P(t\le T)}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{P(t\le T\le t+\mathrm{\Delta }t)}{\mathrm{\Delta }t}\frac{1}{P(t\le T)}\end{array}$$ 生存関数の定義 $S\left(t\right)=P(t\le T)$ より、 $$\begin{array}{r}\lambda \left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{P(t\le T\le t+\mathrm{\Delta }t)}{\mathrm{\Delta }t}\frac{1}{S\left(t\right)}\end{array}$$ イベント確率の分布関数の定義より、 $$\begin{array}{r}\lambda \left(t\right)=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{F(t+\mathrm{\Delta }t)-F\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }t}\frac{1}{S\left(t\right)}\end{array}$$ 微分の定義と分布関数と確率密度関数の関係より、 $$\begin{array}{c}\lambda \left(t\right)=\frac{1}{S\left(t\right)}\cdot \frac{d}{dt}F\left(t\right)=\frac{f\left(t\right)}{S\left(t\right)}\\ f\left(t\right)=\lambda \left(t\right)\cdot S\left(t\right)\end{array}$$ $◼$

〔2〕累積ハザード関数と生存関数の関係

〔1〕の計算過程において、生存関数を用いると、 $$\begin{array}{rl}P(t\le T\le t+\mathrm{\Delta }t)& =S\left(t\right)-S(t+\mathrm{\Delta })\\ & =-S(t+\mathrm{\Delta })-S\left(t\right)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}\lambda \left(t\right)& =-\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\frac{S(t+\mathrm{\Delta })-S\left(t\right)}{\mathrm{\Delta }}\cdot \frac{1}{S\left(t\right)}\\ & =-\frac{d}{dt}S\left(t\right)\cdot \frac{1}{S\left(t\right)}\end{array}$$ 与えられた定義式を計算すると、 $$\begin{array}{r}\mathrm{\Lambda }\left(t\right)={\int }_0^t-\frac{S^{\prime }\left(u\right)}{S\left(u\right)}du\end{array}$$ 積分の公式 $\log f\left(x\right)=\int \frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx$ より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }\left(t\right)& ={\int }_0^t-\frac{d}{du}\log S\left(u\right)du\\ & ={[-\log S\left(u\right)]}_0^t\\ & =-\{\log S\left(t\right)-\log S\left(0\right)\}\\ & =-\log S\left(t\right)+0\\ & =-\log S\left(t\right)\end{array}$$ $◼$

〔3〕確率積分変換

確率変数 $T$ をその分布関数で変換（確率積分変換）した確率変数 $F\left(T\right)$ の分布関数は、 $$\begin{array}{rl}G\left[F\left(T\right)\right]& =P\{F\left(T\right)\le t\}\\ & =P\{T\le F^{-1}\left(t\right)\}\\ & =F\left\{F^{-1}\left(t\right)\right\}\\ & =t\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}F\left(T\right)\sim \mathrm{U}(0,1)\\ P\{F\left(T\right)>g\left(t\right)\}=1-g\left(t\right)\end{array}$$ 〔2〕の結果より、 $$\begin{array}{rl}P\{\mathrm{\Lambda }\left(T\right)>t\}& =P\{-\log S\left(T\right)>t\}\\ & =P\{S\left(T\right)<e^{-t}\}\\ & =P\{1-F\left(T\right)<e^{-t}\}\\ & =P\{F\left(T\right)>1-e^{-t}\}\\ & =1-(1-e^{-t})\\ & =e^{-t}\end{array}$$ $◼$

〔4〕補対数対数変換

Cox比例ハザードモデルの定義式（1）より、 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }\left(t\right|\mathit{Z})& ={\int }_0^t\lambda \left(u\right|\mathit{Z})du\\ & ={\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)\cdot \exp \left({\beta }^T\mathit{Z}\right)du\\ & =\exp \left({\beta }^T\mathit{Z}\right){\int }_0^t{\lambda }_0\left(u\right)du\\ & ={\mathrm{\Lambda }}_0\left(t\right)\cdot \exp \left({\beta }^T\mathit{Z}\right)\end{array}$$ 〔2〕の結果より、$\mathrm{\Lambda }\left(t\right|\mathit{Z})=-\log S\left(t\right|\mathit{Z})$ なので、 $$\begin{array}{r}-\log S\left(t\right|\mathit{Z})={\mathrm{\Lambda }}_0\left(t\right)\cdot \exp \left({\beta }^T\mathit{Z}\right)\end{array}$$ 両辺の対数を取ると、 $$\begin{array}{r}\log \{-\log S\left(t\right|\mathit{Z})\}=\log {\mathrm{\Lambda }}_0\left(t\right)+{\beta }^T\mathit{Z}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}h\left(t\right)=\log {\mathrm{\Lambda }}_0\left(t\right)\end{array}$$ $◼$

〔5〕累積分布関数の導出

〔4〕の結果より、 $$\begin{array}{r}ϵ\left(t\right)=\log \{-\log S\left(t\right|\mathit{Z})\}\end{array}$$ 両辺の $t$ を $T$ に置き換えると、 $$\begin{array}{r}ϵ\left(T\right)=\log \{-\log S\left(T\right|\mathit{Z})\}\end{array}$$ 〔3〕と同様に、 $$\begin{array}{rl}P\{ϵ\left(T\right)\le x\}& =P[\log \{-\log S\left(T\right|\mathit{Z})\}\le x]\\ & =P\{-\log S\left(T\right|\mathit{Z})\le \exp \left(x\right)\}\\ & =P[S\left(T\right|\mathit{Z})\ge \exp \left\{\exp \left(x\right)\right\}]\\ & =P[1-F\left(T\right|\mathit{Z})\ge \exp \left\{\exp \left(x\right)\right\}]\\ & =P[F\left(T\right|\mathit{Z})\le 1-\exp \left\{\exp \left(x\right)\right\}]\\ & =1-\exp \left\{\exp \left(x\right)\right\}\end{array}$$ $◼$

〔6〕乱数の生成法

〔5〕の結果より、 $$\begin{array}{c}ϵ\left(T\right)=\log \{-\log S\left(T\right|\mathit{Z})\}\\ S\left(T\right|\mathit{Z})\sim \mathrm{U}(0,1)\end{array}$$ よって、$V=S\left(T\right|\mathit{Z})$ とすると、$ϵ\left(T\right)$ に対する乱数は、 $$\begin{array}{r}ϵ\left(T\right)=\log (-\log V)\end{array}$$ ${\lambda }_0\left(t\right)=\frac{3}{2}\sqrt{t}$ なので、 $$\begin{array}{r}{\mathrm{\Lambda }}_0\left(t\right)={\int }_0^t\frac{3}{2}\sqrt{u}du=\frac{3}{2}{\left[\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^t=t^{\frac{3}{2}}\end{array}$$ よって、〔4〕の結果より、 $$\begin{array}{r}h\left(t\right)=\log {\mathrm{\Lambda }}_0\left(t\right)=\frac{3}{2}\log t\end{array}$$ また、〔5〕の結果より、$\beta =\frac{1}{2},\mathit{Z}=Z$ を代入すると、 $$\begin{array}{c}h\left(T\right)=-{\beta }^T\mathit{Z}+ϵ\left(T\right)\\ \frac{3}{2}\log T=-\frac{Z}{2}+ϵ\left(T\right)\\ \log T=-\frac{Z}{3}+\frac{2}{3}ϵ\left(T\right)\\ T=\exp \{-\frac{Z}{3}+\frac{2}{3}ϵ\left(T\right)\}\end{array}$$ これより、次の手順で $T$ に対する乱数を得ることができる。
Step1：区間 $[0,1]$ の一様分布に従う乱数 $U$ を生成し、$Z=40+30U$ とする。
Step2：Step1の $U$ とは独立に区間 $[0,1]$ の一様分布に従う乱数 $V$ を生成し、$ϵ\left(T\right)=\log (-\log V)$ とする。
Step3： $$\begin{array}{r}T=\exp \{-\frac{Z}{3}+\frac{2}{3}\log (-\log V)\}\end{array}$$ $◼$

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