本稿には、2018年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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〔1〕反応確率の対数尤度関数
確率変数 $Y_i$ の確率関数は、 \begin{gather} P \left(y_i\middle|\theta_i\right)=\theta_i^{y_i} \left(1-\theta_i\right)^{1-y_i}\\ y_i=0,1 \quad i=1,2, \cdots ,n \end{gather} 観測値 $\boldsymbol{y}= \left\{y_1,y_2, \cdots ,y_n\right\}$ にもとづくパラメータ $\theta_i$ の尤度関数は \begin{align} L \left(\boldsymbol{\theta}\right)=\prod_{i=1}^{n}{\theta_i^{y_i} \left(1-\theta_i\right)^{1-y_i}} \end{align} バラメータ $\beta_j \left(j=1,2, \cdots ,p\right)$ の尤度関数は \begin{align} L \left(\boldsymbol{\beta}\right)&=\prod_{i=1}^{n} \left\{\frac{\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)}\right\}^{y_i} \cdot \left\{\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)}\right\}^{1-y_i}\\ &=\prod_{i=1}^{n}\frac{\mathrm{exp} \left\{y_i \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)\right\}}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)}\\ \end{align} これより、対数尤度関数 $l \left(\boldsymbol{\beta}\right)=\log{L \left(\boldsymbol{\beta}\right)}$ は \begin{align} l \left(\boldsymbol{\beta}\right)=\sum_{i=1}^{n}{y_i \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)}-\sum_{i=1}^{n}\log{ \left\{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1x_{i1}+ \cdots +\beta_{ip}x_{ip}\right)\right\}} \end{align} $\blacksquare$
〔2〕偏回帰係数と調整対数オッズ比の関係
式 $(1)$ を変形すると、 \begin{align} \log{\frac{\theta}{1-\theta}}=\beta_0+\beta_1x_1+ \cdots +\beta_px_p \end{align} 対数オッズ比の定義式より、 \begin{align} \log{\mathrm{OR}}&=\log{\frac{\frac{P \left(\ Y=1\ \middle|\ x_1=1,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}{P \left(\ Y=0\ \middle|\ x_1=1,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}}{\frac{P \left(\ Y=1\ \middle|\ x_1=0,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}{P \left(\ Y=0\ \middle|\ x_1=0,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}}}\\ &=\log{\frac{P \left(\ Y=1\ \middle|\ x_1=1,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}{P \left(\ Y=0\ \middle|\ x_1=1,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}}-\log{\frac{P \left(\ Y=1\ \middle|\ x_1=0,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}{P \left(\ Y=0\ \middle|\ x_1=0,x_2, \cdots ,x_p\ \right)}}\\ &=\log{\frac{\frac{\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1+ \cdots +\beta_px_p\right)}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1+ \cdots +\beta_px_p\right)}}{\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+\beta_1+ \cdots +\beta_px_p\right)}}}-\log{\frac{\frac{\mathrm{exp} \left(\beta_0+ \cdots +\beta_px_p\right)}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+ \cdots +\beta_px_p\right)}}{\frac{1}{1+\mathrm{exp} \left(\beta_0+ \cdots +\beta_px_p\right)}}} &= \left(\beta_0+\beta_1\times1+ \cdots +\beta_px_p\right)- \left(\beta_0+\beta_1\times0+ \cdots +\beta_px_p\right) \log{\mathrm{OR}}=\beta_1 \end{align} $\blacksquare$
〔3〕赤池情報量規準（AIC）
AICの定義式より、
$\mathrm{AIC}=-2\log{L \left(\boldsymbol{\beta}\right)}+2k$
$\log{L \left(\boldsymbol{\beta}\right)}$ は、対数尤度の最大値
$k$ は自由に値を取れるパラメータの数
この式に、$L \left(\boldsymbol{\beta}\right)=\log{L \left({\hat{\beta}}_0,{\hat{\beta}}_1, \cdots ,{\hat{\beta}}_p\right)},k=p+1$ を代入すると、〔2〕の結果より、
\begin{align}
\mathrm{AIC}&=-2\times\log{L \left({\hat{\beta}}_0,{\hat{\beta}}_1, \cdots ,{\hat{\beta}}_p\right)}+2 \left(p+1\right)\\
&=-2\sum_{i=1}^{n}{y_i \left({\hat{\beta}}_0+{\hat{\beta}}_1x_{i1}+ \cdots +{\hat{\beta}}_px_{ip}\right)}+2\sum_{i=1}^{n}\log{ \left\{1+\mathrm{exp} \left({\hat{\beta}}_0+{\hat{\beta}}_1x_{i1}+ \cdots +{\hat{\beta}}_px_{ip}\right)\right\}}+2 \left(p+1\right)
\end{align}
$\blacksquare$
〔4〕カルバック・ライブラー情報量
カルバック・ライブラー情報量の定義式より、 \begin{align} I \left(g;f\right)&=E \left[\log{\frac{g \left(x\right)}{f \left(x\right)}}\right]\\ &=\sum_{x=0}^{1}{g \left(x\right) \cdot \log{\frac{g \left(x\right)}{f \left(x\right)}}} \end{align} ここで、 \begin{gather} g \left(x\right)=\theta^x \cdot \left(1-\theta\right)^{1-x}\\ f \left(x\right)=\pi^x \cdot \left(1-\pi\right)^{1-x} \end{gather} したがって、 \begin{align} I \left(g;f\right)&=g \left(1\right) \cdot \log{\frac{g \left(1\right)}{f \left(1\right)}}+g \left(0\right) \cdot \log{\frac{g \left(0\right)}{f \left(0\right)}}\\ &=\theta\log{\frac{\theta}{\pi}}+ \left(1-\theta\right)\log{\frac{1-\theta}{1-\pi}} \end{align} $\blacksquare$
〔5〕分析結果の解釈
ロジスティック回帰分析の結果（表1）から、年齢、性別、頭痛の既往、感音性が疾病発症のリスク因子であることが分かった。また、図1より、このモデルに基づく予測は、医師単独の予測よりも感度と特異度の観点から優れていることが示唆された。 $\blacksquare$
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