統計検定 1級 2016年 医薬生物学 問3 生存時間分析

本稿には、2016年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問3の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

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• この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕カプラン・マイヤー法による生存関数の推定

それぞれの群の瞬間ハザードと累積生存率を求めると、次のようになる。

表1 群1の生存時問データ

観察時間 （週）	打ち切り イベント	瞬間死亡率	累積生存率
$3$	$1$	$\frac{0}{5}$	$\frac{5}{5}=1$
$5$	$1$	$\frac{0}{4}$	$1\times \frac{4}{4}=1$
$7$	$1$	$\frac{0}{3}$	$1\times \frac{3}{3}=1$
$9$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1\times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
$10$	$0$	$\frac{1}{1}$	$\frac{1}{2}\times \frac{0}{1}=0$

表2 群2の生存時問データ

観察時間 （週）	打ち切り イベント	瞬間死亡率	累積生存率
$1$	$0$	$\frac{1}{5}$	$\frac{4}{5}$
$2$	$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{5}$
$4$	$1$	$\frac{0}{3}$	$\frac{3}{5}\times \frac{3}{3}=\frac{3}{5}$
$5$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{10}$
$8$	$0$	$\frac{1}{1}$	$\frac{3}{10}\times 0=0$

これをもとにカプラン・マイヤー曲線を描くと次のようになる。

$◼$

 

〔2〕ログランク検定

$i(=1,2,6,8,9,10)$ をイベントが発生した時点、$j(=1,2)$ を群番号を表すものとし、時点 $i$ における群 $j$ の値を以下のように定義する。

• $d_{ij}$：イペント発生数
• $n_{ij}$：リスク集合の大きさ
• $e_{ij}$：イペント発生数の期待値
• $d_i$：（群1と群2）全体でのイベント発生数
• $n_i$：（群1と群2）全体でのリスク集合の大きさ

このとき、イペント発生数の期待値は、 $$\begin{array}{r}{e}_{ij}=n_{ij}\times \frac{d_i}{n_i}\end{array}$$ 期待値と群 $j$ での（実際の）イベント発生数との差 $$\begin{array}{r}{u}_{ij}=d_{ij}-e_{ij}\end{array}$$ を時点 $i$ におけるスコアとし、 このスコアを単純に合計したものが各群のスコア $$\begin{array}{r}u=\sum _{i=1}^{10}{u}_{ij}\end{array}$$ となる （なお、各群のスコアは、符号が反対で絶対値は等しいため、どちらで求めてもよい）。
それぞれの時点でのスコア $u_{ij}$ の分散は、イベント数が $d_i=1$ の場合は、 $$\begin{array}{r}V\left(u_i\right)=\frac{n_{i1}\cdot n_{i2}}{n_i^2}\end{array}$$ それぞれの時点でのスコアが互いに独立であるとすると、分散の性質より、 $$\begin{array}{r}V\left(u\right)=\sum _{i=1}^{10}V\left(u_i\right)\end{array}$$ こうしたことをもとに、各時点でのスコアとスコアの分散を算出すると、以下のようになる。

したがって、 $$\begin{array}{rl}u& =-\frac{1}{2}-\frac{5}{9}-\frac{3}{5}-\frac{2}{3}+0+0\\ & \cong -0.5-0.56-0.6-0.67\\ & =-2.33\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}V\left(u\right)& =\frac{1}{4}+\frac{20}{81}+\frac{6}{25}+\frac{2}{9}+0+0\\ & \cong 0.25+0.25+0.24+0.22\\ & =0.96\end{array}$$ したがって、ログランク検定の検定統計量は、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2=\frac{u^2}{V\left(u\right)}=\frac{{(-2.33)}^2}{0.96}\cong 5.62\end{array}$$ 帰無仮説のもとで、 $$\begin{array}{r}{\chi }^2\sim {\chi }^2\left(1\right)Z=\sqrt{{\chi }^2}\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ 付表1より、 $$\begin{array}{r}\sqrt{5.62}=2.3712\cong Z_{0.0089}\left(n\right)\end{array}$$ したがって、両側p値は、 $$\begin{array}{r}p\cong 0,0089\times 2=0.0178\end{array}$$ $◼$

 

〔3〕コックス比例ハザードモデルの部分尤度

時点 $i$ における各群のハザードは、 $$\begin{array}{c}{h}_1=h(0,t)=h_0\left(t\right)e^0=h_0\left(t\right)\\ h_2=h(1,t)=h_0\left(t\right)e^{\beta \cdot 1}=h_0\left(t\right)e^{\beta }\end{array}$$ このとき、確率の乗法定理により、
「時点 $t_{\left(i\right)}$ で群 $j$ の1人にイベントが起きる確率」＝「時点 $t_{\left(i\right)}$ でイベントが1件起きる確率」×「時点 $t_{\left(i\right)}$ でイベントが起きたという条件付きでそれが群 $j$ の1人である確率」 $$\begin{array}{r}P(d_{ij}=1)=P(d_i=1)\times P(d_{ij}=1|d_i=1)\end{array}$$ 部分尤度は、このうち「時点 $t_{\left(i\right)}$ でイベントが起きたという条件付きでそれが群 $j$ の1人である確率」に関する尤度のことを指し、 $$\begin{array}{r}L=\prod _{i=1}^k\frac{h\left(i\right)}{\sum _{j=1}^{n_i}{h}_{\mathit{j}}}\end{array}$$ この問題では、群2→群2→群2→群2→群1→群1という順番でイベントが発生しているが、例えば、最初の事象が起こる確率は、群1が5人、群2に5人、at riskの人（ハザードに暴露されている人）がいて、イベントが1件発生した際、それが群2の1人である確率（＝全体のハザードの中で群2の1人のハザードが占める割合）なので、 $$\begin{array}{r}L=\frac{h_2}{5h_1+5h_2}\end{array}$$ 以下同様に考えていくと、全体としての部分尤度は、 $$\begin{array}{rl}L& =\frac{h_2}{5h_1+5h_2}\times \frac{h_2}{5h_1+4h_2}\times \frac{h_2}{3h_1+2h_2}\times \frac{h_2}{2h_1+h_2}\times \frac{h_1}{2h_1+0}\times \frac{h_1}{h_1+0}\\ & =\frac{h_0\left(t\right)}{h_0\left(t\right)}(\frac{5e^{\beta }}{5+5e^{\beta }}\times \frac{4e^{\beta }}{5+4e^{\beta }}\times \frac{2e^{\beta }}{3+2e^{\beta }}\times \frac{e^{\beta }}{2+e^{\beta }}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{1})\\ & =\frac{5e^{\beta }}{5+5e^{\beta }}\times \frac{4e^{\beta }}{5+4e^{\beta }}\times \frac{2e^{\beta }}{3+2e^{\beta }}\times \frac{e^{\beta }}{2+e^{\beta }}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{1}\end{array}$$ $◼$

 

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