本稿には、2022年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕事象の独立性
事象の独立性の定義より、 \begin{align} P \left(A \cap B\right)&=P \left(A\right) \cdot P \left(B\right)\\ &=\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}\\ &=\frac{9}{16} \end{align} \begin{align} P \left(A \cap B \cap C\right)&=P \left(A\right) \cdot P \left(B\right) \cdot P \left(C\right)\\ &=\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4}\\ &=\frac{27}{64} \end{align} $\blacksquare$
〔2〕積事象の確率の範囲①
確率の加法定理より、 \begin{align} P \left(A \cup B\right)&=P \left(A\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cap B\right)\\ P \left(A \cap B\right)&=P \left(A\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cup B\right)\\ &=\frac{3}{2}-P \left(A \cup B\right) \end{align} したがって、$P \left(A \cup B\right)$ が最大のとき $P \left(A \cap B\right)$ は最小となり、$P \left(A \cup B\right)$ が最小のとき $P \left(A \cap B\right)$ は最大となる。
（i）最大値
事象 $A$ と事象 $B$ が同じ事象 $A=B$ のとき、
\begin{align}
P \left(A \cup B\right)=\frac{3}{4}\Rightarrow P \left(A \cap B\right)=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}
\end{align}
（ii）最小値
事象 $A$ と事象 $B$ の和事象が全事象となるとき、
\begin{align}
P \left(A \cup B\right)=1\Rightarrow P \left(A \cap B\right)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}
\end{align}
したがって、 \begin{align} \frac{1}{2} \le P \left(A \cap B\right) \le \frac{3}{4} \end{align} $\blacksquare$
〔3〕積事象の確率の範囲②
確率の加法定理より、 \begin{align} P \left(A \cup B \cup C\right)=P \left(A\right)+P \left(B\right)+P \left(C\right)-P \left(A \cap B\right)-P \left(B \cap C\right)-P \left(C \cap A\right)+P \left(A \cap B \cap C\right) \end{align} ここで、 \begin{gather} P \left(A \cap B\right)=P \left(A\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cup B\right)\\ P \left(B \cap C\right)=P \left(B\right)+P \left(C\right)-P \left(B \cup C\right)\\ P \left(C \cap A\right)=P \left(C\right)+P \left(A\right)-P \left(C \cup A\right) \end{gather} これを用いると、 \begin{align} P \left(A \cup B \cup C\right)&=P \left(A \cup B\right)+P \left(B \cup C\right)+P \left(C \cup A\right)-P \left(A\right)-P \left(B\right)-P \left(C\right)+P \left(A \cap B \cap C\right)\\ P \left(A \cap B \cap C\right)&=P \left(A\right)+P \left(B\right)+P \left(C\right)-P \left(A \cup B\right)-P \left(B \cup C\right)-P \left(C \cup A\right)+P \left(A \cup B \cup C\right)\\ &=\frac{9}{4}- \left\{P \left(A \cup B\right)+P \left(B \cup C\right)+P \left(C \cup A\right)-P \left(A \cup B \cup C\right)\right\} \end{align} ここで常に、 \begin{gather} P \left(A \cup B\right)+P \left(B \cup C\right)+P \left(C \cup A\right) \geq P \left(A \cup B \cup C\right)\\ P \left(A \cup B\right)+P \left(B \cup C\right)+P \left(C \cup A\right)-P \left(A \cup B \cup C\right) \geq 0 \end{gather} であるから、 $P \left(A \cap B \cap C\right)$ の最大値・最小値を求めるためには、 \begin{gather} P \left(A \cup B\right)+P \left(B \cup C\right)+P \left(C \cup A\right)-P \left(A \cup B \cup C\right) \end{gather} の最小値・最大値を考えればよい。
（i）最大値
事象 $A,B,C$ が同じ事象 $A=B=C$ のとき、
\begin{gather}
P \left(A \cup B\right)=P \left(B \cup C\right)=P \left(C \cup A\right)=P \left(A \cup B \cup C\right)=\frac{3}{4}
\end{gather}
よって、
\begin{align}
P \left(A \cap B \cap C\right)=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}
\end{align}
（ii）最小値
同様に、
\begin{align}
P \left(A \cup B\right)=P \left(B \cup C\right)=P \left(C \cup A\right)=P \left(A \cup B \cup C\right)=1
\end{align}
のとき、
\begin{align}
P \left(A \cap B \cap C\right)=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}
\end{align}
したがって、 \begin{align} \frac{1}{4} \le P \left(A \cap B \cap C\right) \le \frac{3}{4} \end{align} $\blacksquare$
〔4〕積事象の確率の範囲③
与えられた条件から、 \begin{align} P \left(A \cap B\right)=P \left(B \cap C\right)=P \left(C \cap A\right)=\frac{9}{16} \end{align} 確率の加法定理より、 \begin{align} P \left(A \cup B\right)&=P \left(A\right)+P \left(B\right)-P \left(A \cap B\right)\\ &=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{9}{16}\\ &=\frac{15}{16} \end{align} 同様に、 \begin{align} P \left(A \cup B\right)=P \left(B \cup C\right)=P \left(C \cup A\right)=\frac{15}{16} \end{align} 〔3〕と同様に考えると、 \begin{align} P \left(A \cap B \cap C\right)&=P \left(A\right)+P \left(B\right)+P \left(C\right)-P \left(A \cup B\right)-P \left(B \cup C\right)-P \left(C \cup A\right)+P \left(A \cup B \cup C\right)\\ &=-\frac{9}{16}+P \left(A \cup B \cup C\right) \end{align}
（i）最大値
確率の公理 $P \left(A \cup B \cup C\right) \le 1$ より、
\begin{align}
P \left(A \cap B \cap C\right)&=-\frac{9}{16}+1\\
&=\frac{7}{16}
\end{align}
（ii）最小値
〔3〕と同様に考えると、
\begin{align}
P \left(A \cup B\right)=P \left(B \cup C\right)=P \left(C \cup A\right)=P \left(A \cup B \cup C\right)=\frac{15}{16}
\end{align}
のとき、
\begin{align}
P \left(A \cap B \cap C\right)=-\frac{9}{16}+\frac{15}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}
\end{align}
したがって、 \begin{align} \frac{3}{8} \le P \left(A \cap B \cap C\right) \le \frac{7}{16} \end{align} $\blacksquare$
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