統計検定 1級 2022年 統計数理 問1 確率の基本性質

本稿には、2022年に実施された統計検定1級『統計数理』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕事象の独立性

事象の独立性の定義より、 $$\begin{array}{rl}P(A\cap B)& =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)\\ & =\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\\ & =\frac{9}{16}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C)& =P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)\\ & =\frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{3}{4}\\ & =\frac{27}{64}\end{array}$$ $◼$

〔2〕積事象の確率の範囲①

確率の加法定理より、 $$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)\\ P(A\cap B)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cup B)\\ & =\frac{3}{2}-P(A\cup B)\end{array}$$ したがって、$P(A\cup B)$ が最大のとき $P(A\cap B)$ は最小となり、$P(A\cup B)$ が最小のとき $P(A\cap B)$ は最大となる。

（i）最大値
事象 $A$ と事象 $B$ が同じ事象 $A=B$ のとき、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=\frac{3}{4}\Rightarrow P(A\cap B)=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\end{array}$$

（ii）最小値
事象 $A$ と事象 $B$ の和事象が全事象となるとき、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=1\Rightarrow P(A\cap B)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}\end{array}$$

したがって、 $$\begin{array}{r}\frac{1}{2}\le P(A\cap B)\le \frac{3}{4}\end{array}$$ $◼$

〔3〕積事象の確率の範囲②

確率の加法定理より、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B\cup C)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P(A\cap B)-P(B\cap C)-P(C\cap A)+P(A\cap B\cap C)\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{c}P(A\cap B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cup B)\\ P(B\cap C)=P\left(B\right)+P\left(C\right)-P(B\cup C)\\ P(C\cap A)=P\left(C\right)+P\left(A\right)-P(C\cup A)\end{array}$$ これを用いると、 $$\begin{array}{rl}P(A\cup B\cup C)& =P(A\cup B)+P(B\cup C)+P(C\cup A)-P\left(A\right)-P\left(B\right)-P\left(C\right)+P(A\cap B\cap C)\\ P(A\cap B\cap C)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P(A\cup B)-P(B\cup C)-P(C\cup A)+P(A\cup B\cup C)\\ & =\frac{9}{4}-\{P(A\cup B)+P(B\cup C)+P(C\cup A)-P(A\cup B\cup C)\}\end{array}$$ ここで常に、 $$\begin{array}{c}P(A\cup B)+P(B\cup C)+P(C\cup A)\ge P(A\cup B\cup C)\\ P(A\cup B)+P(B\cup C)+P(C\cup A)-P(A\cup B\cup C)\ge 0\end{array}$$ であるから、 $P(A\cap B\cap C)$ の最大値・最小値を求めるためには、 $$\begin{array}{c}P(A\cup B)+P(B\cup C)+P(C\cup A)-P(A\cup B\cup C)\end{array}$$ の最小値・最大値を考えればよい。

（i）最大値
事象 $A,B,C$ が同じ事象 $A=B=C$ のとき、 $$\begin{array}{c}P(A\cup B)=P(B\cup C)=P(C\cup A)=P(A\cup B\cup C)=\frac{3}{4}\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{r}P(A\cap B\cap C)=\frac{9}{4}-\frac{6}{4}=\frac{3}{4}\end{array}$$

（ii）最小値
同様に、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=P(B\cup C)=P(C\cup A)=P(A\cup B\cup C)=1\end{array}$$ のとき、 $$\begin{array}{r}P(A\cap B\cap C)=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}\end{array}$$

したがって、 $$\begin{array}{r}\frac{1}{4}\le P(A\cap B\cap C)\le \frac{3}{4}\end{array}$$ $◼$

〔4〕積事象の確率の範囲③

与えられた条件から、 $$\begin{array}{r}P(A\cap B)=P(B\cap C)=P(C\cap A)=\frac{9}{16}\end{array}$$ 確率の加法定理より、 $$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)\\ & =\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-\frac{9}{16}\\ & =\frac{15}{16}\end{array}$$ 同様に、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=P(B\cup C)=P(C\cup A)=\frac{15}{16}\end{array}$$ 〔3〕と同様に考えると、 $$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C)& =P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P(A\cup B)-P(B\cup C)-P(C\cup A)+P(A\cup B\cup C)\\ & =-\frac{9}{16}+P(A\cup B\cup C)\end{array}$$

（i）最大値
確率の公理 $P(A\cup B\cup C)\le 1$ より、 $$\begin{array}{rl}P(A\cap B\cap C)& =-\frac{9}{16}+1\\ & =\frac{7}{16}\end{array}$$

（ii）最小値
〔3〕と同様に考えると、 $$\begin{array}{r}P(A\cup B)=P(B\cup C)=P(C\cup A)=P(A\cup B\cup C)=\frac{15}{16}\end{array}$$ のとき、 $$\begin{array}{r}P(A\cap B\cap C)=-\frac{9}{16}+\frac{15}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\end{array}$$

したがって、 $$\begin{array}{r}\frac{3}{8}\le P(A\cap B\cap C)\le \frac{7}{16}\end{array}$$ $◼$

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