統計検定 1級 2018年 医薬生物学 問2 マクネマー検定

本稿には、2018年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕有効率を比較するバラメータの推定量の分散

多項分布の分散・共分散の公式より、$n_{ij}(i=1,2,j=1.2)$ について、 $$\begin{array}{c}V\left(n_{ij}\right)=n{\pi }_{ij}(1-{\pi }_{ij})\\ \mathrm{Cov}(n_{ij},n_{st})=-n{\pi }_{ij}{\pi }_{st}(i\ne s,j\ne t)\end{array}$$ したがって、分散の性質より、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\delta }\right)& =V\left(\frac{n_{12}-n_{21}}{n}\right)\\ & =\frac{1}{n^2}\{V\left(n_{12}\right)+V\left(n_{21}\right)-2\mathrm{Cov}(n_{12},n_{21})\}\\ & =\frac{1}{n^2}\{n{\pi }_{12}(1-{\pi }_{12})+n{\pi }_{21}(1-{\pi }_{21})+2n{\pi }_{12}{\pi }_{21}\}\\ & =\frac{1}{n}({\pi }_{12}-{\pi }_{12}^2+{\pi }_{21}-{\pi }_{21}^2+2{\pi }_{12}{\pi }_{21})\end{array}$$ $◼$

〔2〕信頼区間の導出

母集団確率の推定値は、標本確率で推定するので、 $$\begin{array}{r}{\hat{\pi }}_{12}=\frac{n_{12}}{n}{\hat{\pi }}_{21}=\frac{n_{21}}{n}\end{array}$$ これを〔1〕の結果の式に代入すると、 $$\begin{array}{rl}\hat{V}\left(\hat{\delta }\right)& =\frac{1}{n}({\hat{\pi }}_{12}+{\hat{\pi }}_{21}-{\hat{\pi }}_{12}^2-{\hat{\pi }}_{21}^2+2{\hat{\pi }}_{12}{\hat{\pi }}_{21})\\ & =\frac{1}{n}(\frac{n_{12}}{n}+\frac{n_{21}}{n}-\frac{n_{12}^2}{n^2}-\frac{n_{21}^2}{n^2}+2\frac{n_{12}}{n}\cdot \frac{n_{21}}{n})\\ & =\frac{1}{n}(\frac{n_{12}+n_{21}}{n}-\frac{n_{12}^2-2n_{12}{n}_{21}+n_{21}^2}{n^2})\\ & =\frac{n_{12}+n_{21}}{n^2}-\frac{{(n_{12}-n_{21})}^2}{n^3}\end{array}$$ ここで、 $$\begin{array}{r}Z=\frac{\hat{\delta }-\delta }{\sqrt{\hat{V}\left(\hat{\delta }\right)}}\end{array}$$ として、 多項分布の正規近似を用いて、$\delta ={\pi }_{12}-{\pi }_{21}$ の $100(1-\alpha )\mathrm{\%}$ 両側信頼区間は、 $$\begin{array}{c}\hat{\delta }-Z_{\frac{\alpha }{2}}\cdot \sqrt{\hat{V}\left(\hat{\delta }\right)}\le \delta \le \hat{\delta }+Z_{\frac{\alpha }{2}}\cdot \sqrt{\hat{V}\left(\hat{\delta }\right)}\end{array}$$ $◼$

〔3〕母集団確率の最尤推定量

（i）帰無仮説の下での最尤推定最
多項係数部分を除いて、尤度関数 $L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{r}L\left(\mathit{\pi }\right)=\prod _{i=1}^2\prod _{j=1}^2{\pi }_{ij}^{n_{ij}}\end{array}$$ 対数尤度関数 $l\left(\theta \right)=\log L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{r}l\left(\mathit{\pi }\right)=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{n}_{ij}\log {\pi }_{ij}\end{array}$$ 帰無仮説のもとでは、次の制約がある。 $$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\pi }_{ij}=1\\ \delta =0\iff {\pi }_{12}={\pi }_{21}\end{array}$$ ラグランジュの未定乗数法により、次式を最大にする ${\pi }_{ij}$ を求める。 $$\begin{array}{r}{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{n}_{ij}\log {\pi }_{ij}-\lambda (\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\pi }_{ij}-1)-\varphi ({\pi }_{12}-{\pi }_{21})\end{array}$$ $l_0\left(\mathit{\pi }\right)$ を未知パラメータ ${\pi }_{ij}(i=1,2,j=1,2),\lambda ,\varphi$ で偏徴分して0 と置いた方程式を解く。 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{11}}{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{11}}{{\pi }_{11}}-\lambda \text{(2)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{12}}{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{12}}{{\pi }_{12}}-\lambda -\varphi \text{(3)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{21}}{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{21}}{{\pi }_{21}}-\lambda +\varphi \text{(4)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{22}}{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{22}}{{\pi }_{22}}-\lambda \text{(5)}& \frac{\partial }{\partial \lambda }{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=-(\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\pi }_{ij}-1)\text{(6)}& \frac{\partial }{\partial \varphi }{l}_0\left(\mathit{\pi }\right)=-({\pi }_{12}-{\pi }_{21})\end{array}$$ 式 $(1)$ から式 $(4)$ より、 $$\begin{array}{}\text{(7)}& n_{11}-\lambda {\pi }_{11}=0\text{(8)}& n_{12}-\lambda {\pi }_{12}-\varphi {\pi }_{12}=0\text{(9)}& n_{21}-\lambda {\pi }_{21}+\varphi {\pi }_{21}=0\text{(10)}& n_{22}-\lambda {\pi }_{22}=0\end{array}$$ 式 $(7)$ から式 $(10)$ の和を取ると $$\begin{array}{c}(n_{11}+n_{12}+n_{21}+n_{22})-\lambda ({\pi }_{11}+{\pi }_{12}+{\pi }_{21}+{\pi }_{22})-\varphi ({\pi }_{12}-{\pi }_{21})=0\\ n-\lambda \cdot 1-\varphi \cdot 0=0\\ \lambda =n\end{array}$$ $\lambda =n$ を式 $(7)$ から式 $(10)$ に代入すると $$\begin{array}{c}{\pi }_{11}=\frac{n_{11}}{n}\\ {\pi }_{12}=\frac{n_{12}}{n+\varphi }\\ {\pi }_{21}=\frac{n_{21}}{n-\varphi }\\ {\pi }_{22}=\frac{n_{22}}{n}\end{array}$$ ${\pi }_{12}={\pi }_{21}$ より、 $$\begin{array}{c}\frac{n_{12}}{n+\varphi }=\frac{n_{21}}{n-\varphi }\\ n_{12}(n-\varphi )=n_{21}(n+\varphi )\\ n(n_{12}-n_{21})=(n_{12}+n_{21})\varphi \varphi =\frac{n(n_{12}-n_{21})}{n_{12}+n_{21}}\end{array}$$ したがって、帰無仮説のもとでの ${\pi }_{ij}$ の最尤推定量 ${\hat{\pi }}_{ij}$ は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_{11}=\frac{n_{11}}{n}\\ {\hat{\pi }}_{12}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\\ {\hat{\pi }}_{21}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\\ {\hat{\pi }}_{22}=\frac{n_{22}}{n}\end{array}$$ （ii）対立仮説の下での最尤推定最
同様に、対立仮説 $\delta \ne 0$ の下での対数尤度関数は、 $$\begin{array}{r}{l}_1\left(\mathit{\pi }\right)=\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{n}_{ij}\log {\pi }_{ij}-\lambda (\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\pi }_{ij}-1)\end{array}$$ この式が満たすべき制約は、 $$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\pi }_{ij}=1\end{array}$$ それぞれの未知パラメータで偏徴分して0 とおくと、 $$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{11}}{l}_1\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{11}}{{\pi }_{11}}-\lambda \text{(12)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{12}}{l}_1\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{12}}{{\pi }_{12}}-\lambda \text{(13)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{21}}{l}_1\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{21}}{{\pi }_{21}}-\lambda \text{(14)}& \frac{\partial }{\partial {\pi }_{22}}{l}_1\left(\mathit{\pi }\right)=\frac{n_{22}}{{\pi }_{22}}-\lambda \text{(15)}& \frac{\partial }{\partial \lambda }{l}_1\left(\mathit{\pi }\right)=-(\sum _{i=1}^2\sum _{j=1}^2{\pi }_{ij}-1)\end{array}$$ 式 $(11)$ から式 $(14)$ より、 $$\begin{array}{}\text{(16)}& n_{11}-\lambda {\pi }_{11}=0\text{(17)}& n_{12}-\lambda {\pi }_{12}=0\text{(18)}& n_{21}-\lambda {\pi }_{21}=0\text{(19)}& n_{22}-\lambda {\pi }_{22}=0\end{array}$$ 式 $(16)$ から式 $(19)$ の和を取ると $$\begin{array}{c}(n_{11}+n_{12}+n_{21}+n_{22})-\lambda ({\pi }_{11}+{\pi }_{12}+{\pi }_{21}+{\pi }_{22})=0\\ \lambda =n\end{array}$$ したがって、対立仮説の下での ${\pi }_{ij}$ の最尤推定量 ${\hat{\pi }}_{ij}$ は、 $$\begin{array}{c}{\hat{\pi }}_{11}=\frac{n_{11}}{n}\\ {\hat{\pi }}_{12}=\frac{n_{12}}{n}\\ {\hat{\pi }}_{21}=\frac{n_{12}}{n}\\ {\hat{\pi }}_{22}=\frac{n_{22}}{n}\end{array}$$ $◼$

〔4〕尤度比検定統計量

〔3〕の結果より、帰無仮説の下での多項係数部分を除く最大尤度は、 $$\begin{array}{r}{L}_0={\left(\frac{n_{11}}{n}\right)}^{n_{11}}{\left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)}^{n_{21}}{\left(\frac{n_{22}}{n}\right)}^{n_{22}}\end{array}$$ 帰無仮説の下では、 $$\begin{array}{r}{L}_1={\left(\frac{n_{11}}{n}\right)}^{n_{11}}{\left(\frac{n_{12}}{n}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{n_{21}}{n}\right)}^{n_{21}}{\left(\frac{n_{22}}{n}\right)}^{n_{22}}\end{array}$$ したがって、尤度比 $\lambda =\frac{L_1}{L_0}$ は $$\begin{array}{rl}\lambda & =\frac{{\left(\frac{n_{11}}{n}\right)}^{n_{11}}{\left(\frac{n_{12}}{n}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{n_{21}}{n}\right)}^{n_{21}}{\left(\frac{n_{22}}{n}\right)}^{n_{22}}}{{\left(\frac{n_{11}}{n}\right)}^{n_{11}}{\left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)}^{n_{21}}{\left(\frac{n_{22}}{n}\right)}^{n_{22}}}\\ & =\frac{{\left(\frac{n_{12}}{n}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{n_{21}}{n}\right)}^{n_{21}}}{{\left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)}^{n_{21}}}\\ & ={\left(\frac{2n_{12}}{n_{12}+n_{21}}\right)}^{n_{12}}{\left(\frac{2n_{21}}{n_{12}+n_{21}}\right)}^{n_{21}}\end{array}$$ 以下の尤度比検定統計量 $\mathrm{\Lambda }=-2\log \lambda$ は、漸近的に ${\chi }^2$分布に従う。 $$\begin{array}{rl}\mathrm{\Lambda }& =-2[n_{12}\log \left(\frac{2n_{12}}{n_{12}+n_{21}}\right)+n_{21}\log \left(\frac{2n_{21}}{n_{12}+n_{21}}\right)]\\ & =2[n_{12}\log \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n_{12}}\right)+n_{21}\log \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n_{21}}\right)]\end{array}$$ 帰無仮説の下で自由に値を取れるパラメータは $q=2$ 個
対立仮説の下で自由に値を取れるパラメータは $r=3$ 個 よって、検定統計量の自由度は、 $$\begin{array}{r}r-q=3-2=1\end{array}$$ $◼$

関連記事

• マクネマー検定