統計検定 1級 2018年 医薬生物学 問2 マクネマー検定

本稿には、2018年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問2の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕有効率を比較するバラメータの推定量の分散

多項分布の分散・共分散の公式より、$n_{ij} \left(i=1,2,j=1.2\right)$ について、 \begin{gather} V \left(n_{ij}\right)=n\pi_{ij} \left(1-\pi_{ij}\right)\\ \mathrm{Cov} \left(n_{ij},n_{st}\right)=-n\pi_{ij}\pi_{st} \left(i \neq s,j \neq t\right) \end{gather} したがって、分散の性質より、 \begin{align} V \left(\hat{\delta}\right)&=V \left(\frac{n_{12}-n_{21}}{n}\right)\\ &=\frac{1}{n^2} \left\{V \left(n_{12}\right)+V \left(n_{21}\right)-2\mathrm{Cov} \left(n_{12},n_{21}\right)\right\}\\ &=\frac{1}{n^2} \left\{n\pi_{12} \left(1-\pi_{12}\right)+n\pi_{21} \left(1-\pi_{21}\right)+2n\pi_{12}\pi_{21}\right\}\\ &=\frac{1}{n} \left(\pi_{12}-\pi_{12}^2+\pi_{21}-\pi_{21}^2+2\pi_{12}\pi_{21}\right) \end{align} $\blacksquare$

〔2〕信頼区間の導出

母集団確率の推定値は、標本確率で推定するので、 \begin{align} {\hat{\pi}}_{12}=\frac{n_{12}}{n} \quad {\hat{\pi}}_{21}=\frac{n_{21}}{n} \end{align} これを〔1〕の結果の式に代入すると、 \begin{align} \hat{V} \left(\hat{\delta}\right)&=\frac{1}{n} \left({\hat{\pi}}_{12}+{\hat{\pi}}_{21}-{\hat{\pi}}_{12}^2-{\hat{\pi}}_{21}^2+2{\hat{\pi}}_{12}{\hat{\pi}}_{21}\right)\\ &=\frac{1}{n} \left(\frac{n_{12}}{n}+\frac{n_{21}}{n}-\frac{n_{12}^2}{n^2}-\frac{n_{21}^2}{n^2}+2\frac{n_{12}}{n} \cdot \frac{n_{21}}{n}\right)\\ &=\frac{1}{n} \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{n}-\frac{n_{12}^2-2n_{12}n_{21}+n_{21}^2}{n^2}\right)\\ &=\frac{n_{12}+n_{21}}{n^2}-\frac{ \left(n_{12}-n_{21}\right)^2}{n^3} \end{align} ここで、 \begin{align} Z=\frac{\hat{\delta}-\delta}{\sqrt{\hat{V} \left(\hat{\delta}\right)}} \end{align} として、 多項分布の正規近似を用いて、$\delta=\pi_{12}-\pi_{21}$ の $100 \left(1-\alpha\right)\%$ 両側信頼区間は、 \begin{gather} \hat{\delta}-Z_\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{\hat{V} \left(\hat{\delta}\right)} \le \delta \le \hat{\delta}+Z_\frac{\alpha}{2} \cdot \sqrt{\hat{V} \left(\hat{\delta}\right)} \end{gather} $\blacksquare$

〔3〕母集団確率の最尤推定量

（i）帰無仮説の下での最尤推定最
多項係数部分を除いて、尤度関数 $L \left(\theta\right)$ を求めると、 \begin{align} L \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\prod_{i=1}^{2}\prod_{j=1}^{2}\pi_{ij}^{n_{ij}} \end{align} 対数尤度関数 $l \left(\theta\right)=\log{L \left(\theta\right)}$ を求めると、 \begin{align} l \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}{n_{ij}\log{\pi_{ij}}} \end{align} 帰無仮説のもとでは、次の制約がある。 \begin{gather} \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_{ij}=1\\ \delta=0\Leftrightarrow\pi_{12}=\pi_{21} \end{gather} ラグランジュの未定乗数法により、次式を最大にする $\pi_{ij}$ を求める。 \begin{align} l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}{n_{ij}\log{\pi_{ij}}}-\lambda \left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_{ij}-1\right)-\phi \left(\pi_{12}-\pi_{21}\right) \end{align} $l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)$ を未知パラメータ $\pi_{ij} \left(i=1,2,j=1,2\right),\lambda,\phi$ で偏徴分して0 と置いた方程式を解く。 \begin{gather} \frac{\partial}{\partial\pi_{11}}l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{11}}{\pi_{11}}-\lambda\tag{1}\\ \frac{\partial}{\partial\pi_{12}}l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{12}}{\pi_{12}}-\lambda-\phi\tag{2}\\ \frac{\partial}{\partial\pi_{21}}l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{21}}{\pi_{21}}-\lambda+\phi\tag{3}\\ \frac{\partial}{\partial\pi_{22}}l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{22}}{\pi_{22}}-\lambda\tag{4}\\ \frac{\partial}{\partial\lambda}l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=- \left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_{ij}-1\right)\tag{5}\\ \frac{\partial}{\partial\phi}l_0 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=- \left(\pi_{12}-\pi_{21}\right)\tag{6} \end{gather} 式 $(1)$ から式 $(4)$ より、 \begin{gather} n_{11}-\lambda\pi_{11}=0\tag{7}\\ n_{12}-\lambda\pi_{12}-\phi\pi_{12}=0\tag{8}\\ n_{21}-\lambda\pi_{21}+\phi\pi_{21}=0\tag{9}\\ n_{22}-\lambda\pi_{22}=0\tag{10} \end{gather} 式 $(7)$ から式 $(10)$ の和を取ると \begin{gather} \left(n_{11}+n_{12}+n_{21}+n_{22}\right)-\lambda \left(\pi_{11}+\pi_{12}+\pi_{21}+\pi_{22}\right)-\phi \left(\pi_{12}-\pi_{21}\right)=0\\ n-\lambda \cdot 1-\phi \cdot 0=0\\ \lambda=n \end{gather} $\lambda=n$ を式 $(7)$ から式 $(10)$ に代入すると \begin{gather} \pi_{11}=\frac{n_{11}}{n}\\ \pi_{12}=\frac{n_{12}}{n+\phi}\\ \pi_{21}=\frac{n_{21}}{n-\phi}\\ \pi_{22}=\frac{n_{22}}{n} \end{gather} $\pi_{12}=\pi_{21}$ より、 \begin{gather} \frac{n_{12}}{n+\phi}=\frac{n_{21}}{n-\phi}\\ n_{12} \left(n-\phi\right)=n_{21} \left(n+\phi\right)\\ n \left(n_{12}-n_{21}\right)= \left(n_{12}+n_{21}\right)\phi \phi=\frac{n \left(n_{12}-n_{21}\right)}{n_{12}+n_{21}} \end{gather} したがって、帰無仮説のもとでの $\pi_{ij}$ の最尤推定量 ${\hat{\pi}}_{ij}$ は、 \begin{gather} {\hat{\pi}}_{11}=\frac{n_{11}}{n}\\ {\hat{\pi}}_{12}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\\ {\hat{\pi}}_{21}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\\ {\hat{\pi}}_{22}=\frac{n_{22}}{n} \end{gather} （ii）対立仮説の下での最尤推定最
同様に、対立仮説 $\delta \neq 0$ の下での対数尤度関数は、 \begin{align} l_1 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}{n_{ij}\log{\pi_{ij}}}-\lambda \left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_{ij}-1\right) \end{align} この式が満たすべき制約は、 \begin{align} \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_{ij}=1 \end{align} それぞれの未知パラメータで偏徴分して0 とおくと、 \begin{gather} \frac{\partial}{\partial\pi_{11}}l_1 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{11}}{\pi_{11}}-\lambda\tag{11}\\ \frac{\partial}{\partial\pi_{12}}l_1 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{12}}{\pi_{12}}-\lambda\tag{12}\\ \frac{\partial}{\partial\pi_{21}}l_1 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{21}}{\pi_{21}}-\lambda\tag{13}\\ \frac{\partial}{\partial\pi_{22}}l_1 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=\frac{n_{22}}{\pi_{22}}-\lambda\tag{14}\\ \frac{\partial}{\partial\lambda}l_1 \left(\boldsymbol{\pi}\right)=- \left(\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2}\pi_{ij}-1\right)\tag{15} \end{gather} 式 $(11)$ から式 $(14)$ より、 \begin{gather} n_{11}-\lambda\pi_{11}=0\tag{16}\\ n_{12}-\lambda\pi_{12}=0\tag{17}\\ n_{21}-\lambda\pi_{21}=0\tag{18}\\ n_{22}-\lambda\pi_{22}=0\tag{19} \end{gather} 式 $(16)$ から式 $(19)$ の和を取ると \begin{gather} \left(n_{11}+n_{12}+n_{21}+n_{22}\right)-\lambda \left(\pi_{11}+\pi_{12}+\pi_{21}+\pi_{22}\right)=0\\ \lambda=n \end{gather} したがって、対立仮説の下での $\pi_{ij}$ の最尤推定量 ${\hat{\pi}}_{ij}$ は、 \begin{gather} {\hat{\pi}}_{11}=\frac{n_{11}}{n}\\ {\hat{\pi}}_{12}=\frac{n_{12}}{n}\\ {\hat{\pi}}_{21}=\frac{n_{12}}{n}\\ {\hat{\pi}}_{22}=\frac{n_{22}}{n} \end{gather} $\blacksquare$

〔4〕尤度比検定統計量

〔3〕の結果より、帰無仮説の下での多項係数部分を除く最大尤度は、 \begin{align} L_0= \left(\frac{n_{11}}{n}\right)^{n_{11}} \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)^{n_{12}} \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)^{n_{21}} \left(\frac{n_{22}}{n}\right)^{n_{22}} \end{align} 帰無仮説の下では、 \begin{align} L_1= \left(\frac{n_{11}}{n}\right)^{n_{11}} \left(\frac{n_{12}}{n}\right)^{n_{12}} \left(\frac{n_{21}}{n}\right)^{n_{21}} \left(\frac{n_{22}}{n}\right)^{n_{22}} \end{align} したがって、尤度比 $\lambda=\frac{L_1}{L_0}$ は \begin{align} \lambda&=\frac{ \left(\frac{n_{11}}{n}\right)^{n_{11}} \left(\frac{n_{12}}{n}\right)^{n_{12}} \left(\frac{n_{21}}{n}\right)^{n_{21}} \left(\frac{n_{22}}{n}\right)^{n_{22}}}{ \left(\frac{n_{11}}{n}\right)^{n_{11}} \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)^{n_{12}} \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)^{n_{21}} \left(\frac{n_{22}}{n}\right)^{n_{22}}}\\ &=\frac{ \left(\frac{n_{12}}{n}\right)^{n_{12}} \left(\frac{n_{21}}{n}\right)^{n_{21}}}{ \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)^{n_{12}} \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\right)^{n_{21}}}\\ &= \left(\frac{2n_{12}}{n_{12}+n_{21}}\right)^{n_{12}} \left(\frac{2n_{21}}{n_{12}+n_{21}}\right)^{n_{21}} \end{align} 以下の尤度比検定統計量 $\Lambda=-2\log{\lambda}$ は、漸近的に $\chi^2$分布に従う。 \begin{align} \Lambda&=-2 \left[n_{12}\log{ \left(\frac{2n_{12}}{n_{12}+n_{21}}\right)}+n_{21}\log{ \left(\frac{2n_{21}}{n_{12}+n_{21}}\right)}\right]\\ &=2 \left[n_{12}\log{ \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n_{12}}\right)}+n_{21}\log{ \left(\frac{n_{12}+n_{21}}{2n_{21}}\right)}\right] \end{align} 帰無仮説の下で自由に値を取れるパラメータは $q=2$ 個
対立仮説の下で自由に値を取れるパラメータは $r=3$ 個 よって、検定統計量の自由度は、 \begin{align} r-q=3-2=1 \end{align} $\blacksquare$

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