統計検定 1級 2015年 医薬生物学 問1 マクネマー検定

本稿には、2015年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕各治療群の有効率

問題文が表す各セルの確率は以下のようになる。

これより、試験治療群の有効率は、 $$\begin{array}{r}{\pi }_{1+}={\pi }_{11}+{\pi }_{12}\end{array}$$ 対照治療群の有効率は、 $$\begin{array}{r}{\pi }_{+1}={\pi }_{11}+{\pi }_{21}\end{array}$$ $◼$

〔2〕対称性の帰無仮説と対立仮説

〔1〕の結果より、「試験治療群と対照治療群の有効率は等しい」とする帰無仮説は、 $$\begin{array}{r}{H}_0:{\pi }_{11}+{\pi }_{12}={\pi }_{11}+{\pi }_{21}\Rightarrow {\pi }_{12}={\pi }_{21}\end{array}$$ 「試験治療群と対照治療群の有効率は等しくない」とする帰無仮説は、 $$\begin{array}{r}{H}_1:{\pi }_{11}+{\pi }_{12}\ne {\pi }_{11}+{\pi }_{21}\Rightarrow {\pi }_{12}\ne {\pi }_{21}\end{array}$$ $◼$

〔3〕適合度検定

帰無仮説 $H_0:{\pi }_{12}={\pi }_{21}=\pi$ のもとで、治療結果が異なるセルの期待度数は、 $$\begin{array}{r}E\left(n_{12}\right)=E\left(n_{21}\right)=n\pi \end{array}$$ 共通確率 $\pi$ の一致推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{\pi }=\frac{n_{12}+n_{21}}{2n}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}\hat{E}\left(n_{12}\right)=\hat{E}\left(n_{21}\right)=n\cdot \frac{n_{12}+n_{21}}{2n}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2}\end{array}$$ 適合度検定の検定統計量の定義式 $X^2=\sum _{i=1}^n\frac{{\{y_i-E\left(y_i\right)\}}^2}{E\left(y_i\right)}$ より、 $$\begin{array}{rl}{X}^2& =\frac{{\{n_{12}-\hat{E}\left(n_{12}\right)\}}^2}{\hat{E}\left(n_{12}\right)}+\frac{{\{n_{21}-\hat{E}\left(n_{21}\right)\}}^2}{\hat{E}\left(n_{21}\right)}\\ & =\frac{{\{n_{12}-\frac{n_{12}+n_{21}}{2}\}}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}+\frac{{\{n_{21}-\frac{n_{12}+n_{21}}{2}\}}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}\\ & =\frac{{\left\{\frac{n_{12}-n_{21}}{2}\right\}}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}+\frac{{\{-\frac{n_{12}-n_{21}}{2}\}}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}\\ & =\frac{{(n_{12}-n_{21})}^2}{n_{12}+n_{21}}\end{array}$$ そして、この統計量は、自由度$1$の ${\chi }^2$分布に従う。
検定を行う際は、有意水準 $\alpha$ を定め、得られたデータから検定統計量 $X^2$ の値を算出し、上側 $100\alpha \mathrm{\%}$ 点 ${\chi }_{\alpha }^2\left(1\right)$ と大小を比較し、$X^2<{\chi }_{\alpha }^2\left(1\right)$ なら帰無仮説を棄却せず、${\chi }_{\alpha }^2\left(1\right)<X^2$ なら帰無仮説を棄却する。 $◼$

〔4〕有効率の差の期待値・分散

（i）多項分布のモーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_{\mathit{X}}\left(\mathit{\theta }\right)=\sum e^{{\theta }_1{X}_1+{\theta }_2{X}_2+\cdots +{\theta }_n{X}_n}\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_{n_{12}-n_{21}}\left(\theta \right)& =E\left[e^{(n_{12}-n_{21})\theta }\right]\\ & =E\left[e^{n_{11}\cdot 0+(n_{12}-n_{21})\theta +n_{22}\cdot 0}\right]\\ & =\sum _{n_{11}+\cdots +n_{22}=n}{e}^{n_{11}\cdot 0+(n_{12}-n_{21})\theta +n_{22}\cdot 0}\cdot \frac{n!}{n_{11}!\cdots n_{22}!}{\pi }_{11}^{n_{11}}\cdots {\pi }_{22}^{n_{22}}\\ & =\sum _{n_{11}+\cdots +n_{22}=n}\frac{n!}{n_{11}!\cdots n_{22}!}{\left({\pi }_{11}{e}^0\right)}^{n_{11}}{\left({\pi }_{12}{e}^{\theta }\right)}^{n_{12}}{\left({\pi }_{21}{e}^{-\theta }\right)}^{n_{21}}{\left({\pi }_{22}{e}^0\right)}^{n_{22}}\end{array}$$ 多項定理 $$\begin{array}{r}{(x_1+x_2+\cdots +x_k)}^n=\sum _{n_1+n_2+\cdots +n_k=n}\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}{x}_1^{n_1}{x}_2^{n_2}\cdots x_k^{n_k}\end{array}$$ より、 $$\begin{array}{rl}{M}_{n_{12}-n_{21}}\left(\theta \right)& ={({\pi }_{11}{e}^0+{\pi }_{12}{e}^{\theta }+{\pi }_{21}{e}^{-\theta }+{\pi }_{22}{e}^0)}^n\\ & ={({\pi }_{11}+{\pi }_{12}{e}^{\theta }+{\pi }_{21}{e}^{-\theta }+{\pi }_{22})}^n\end{array}$$ （ii）有効率の差の期待値と分散①
多項分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left(n_{12}\right)=n{\pi }_{12}E\left(n_{21}\right)=n{\pi }_{21}\\ V\left(n_{12}\right)=n{\pi }_{12}(1-{\pi }_{12})V\left(n_{21}\right)=n{\pi }_{21}(1-{\pi }_{21})\\ \mathrm{Cov}(n_{12},n_{21})=-n{\pi }_{12}{\pi }_{21}\end{array}$$ 期待値の性質より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\hat{\delta }\right)& =E(p_{1+}-p_{+1})\\ & =E(\frac{n_{1+}}{n}-\frac{n_{+1}}{n})\\ & =\frac{1}{n}E[n_{11}+n_{12}-(n_{11}+n_{21})]\\ & =\frac{1}{n}E(n_{12}-n_{21})\\ & =\frac{1}{n}(n{\pi }_{12}-n{\pi }_{21})\\ & ={\pi }_{12}-{\pi }_{21}\end{array}$$ 分散の性質 $V(X-Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)-2\mathrm{Cov}(X,Y)$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\delta }\right)& =V(p_{1+}-p_{+1})\\ & =V(\frac{n_{1+}}{n}-\frac{n_{+1}}{n})\\ & =\frac{1}{n^2}V[n_{11}+n_{12}-(n_{11}+n_{21})]\\ & =\frac{1}{n^2}V(n_{12}-n_{21})\\ & =\frac{1}{n^2}\{n{\pi }_{12}(1-{\pi }_{12})+n{\pi }_{21}(1-{\pi }_{21})-2n{\pi }_{12}{\pi }_{21}\}\\ & =\frac{1}{n}({\pi }_{12}-{\pi }_{12}^2+{\pi }_{21}-{\pi }_{21}^2+2{\pi }_{12}{\pi }_{11})\\ & =\frac{1}{n}\{({\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{({\pi }_{12}-{\pi }_{21})}^2\}\end{array}$$ （iii）有効率の差の期待値と分散②
（ii）の結果の式を変形していくと、 $$\begin{array}{rl}V\left(\hat{\delta }\right)& =\frac{1}{n}\{({\pi }_{1+}-{\pi }_{11}+{\pi }_{+1}-{\pi }_{11})-{({\pi }_{1+}-{\pi }_{11}-{\pi }_{+1}+{\pi }_{11})}^2\}\\ & =\frac{1}{n}\{{\pi }_{1+}+{\pi }_{+1}-2{\pi }_{11}-({\pi }_{1+}^2-2{\pi }_{1+}{\pi }_{+1}+{\pi }_{+1}^2)\}\\ & =\frac{1}{n}[{\pi }_{1+}(1-{\pi }_{1+})+{\pi }_{+1}(1-{\pi }_{+1})-2\{{\pi }_{11}-({\pi }_{11}+{\pi }_{12})({\pi }_{11}+{\pi }_{21})\}]\\ & =\frac{1}{n}[{\pi }_{1+}(1-{\pi }_{1+})+{\pi }_{+1}(1-{\pi }_{+1})-2\{{\pi }_{11}(1-{\pi }_{11}+{\pi }_{12}+{\pi }_{21})-{\pi }_{12}{\pi }_{21}\}]\\ & =\frac{1}{n}[{\pi }_{1+}(1-{\pi }_{1+})+{\pi }_{+1}(1-{\pi }_{+1})-2({\pi }_{11}{\pi }_{22}-{\pi }_{12}{\pi }_{21})]\\ & =\frac{1}{n}[{\pi }_{1+}(1-{\pi }_{1+})+{\pi }_{+1}(1-{\pi }_{+1})-2{\pi }_{\bullet }]\end{array}$$ $◼$

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