統計検定 1級 2015年 医薬生物学 問1 マクネマー検定

本稿には、2015年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕各治療群の有効率

問題文が表す各セルの確率は以下のようになる。

これより、試験治療群の有効率は、 \begin{align} \pi_{1+}=\pi_{11}+\pi_{12} \end{align} 対照治療群の有効率は、 \begin{align} \pi_{+1}=\pi_{11}+\pi_{21} \end{align} $\blacksquare$

〔2〕対称性の帰無仮説と対立仮説

〔1〕の結果より、「試験治療群と対照治療群の有効率は等しい」とする帰無仮説は、 \begin{align} H_0:\pi_{11}+\pi_{12}=\pi_{11}+\pi_{21}\Rightarrow\pi_{12}=\pi_{21} \end{align} 「試験治療群と対照治療群の有効率は等しくない」とする帰無仮説は、 \begin{align} H_1:\pi_{11}+\pi_{12} \neq \pi_{11}+\pi_{21}\Rightarrow\pi_{12} \neq \pi_{21} \end{align} $\blacksquare$

〔3〕適合度検定

帰無仮説 $H_0:\pi_{12}=\pi_{21}=\pi$ のもとで、治療結果が異なるセルの期待度数は、 \begin{align} E \left(n_{12}\right)=E \left(n_{21}\right)=n\pi \end{align} 共通確率 $\pi$ の一致推定量は、 \begin{align} \hat{\pi}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2n} \end{align} したがって、 \begin{align} \hat{E} \left(n_{12}\right)=\hat{E} \left(n_{21}\right)=n \cdot \frac{n_{12}+n_{21}}{2n}=\frac{n_{12}+n_{21}}{2} \end{align} 適合度検定の検定統計量の定義式 $X^2=\sum_{i=1}^{n}\frac{ \left\{y_i-E \left(y_i\right)\right\}^2}{E \left(y_i\right)}$ より、 \begin{align} X^2&=\frac{ \left\{n_{12}-\hat{E} \left(n_{12}\right)\right\}^2}{\hat{E} \left(n_{12}\right)}+\frac{ \left\{n_{21}-\hat{E} \left(n_{21}\right)\right\}^2}{\hat{E} \left(n_{21}\right)}\\ &=\frac{ \left\{n_{12}-\frac{n_{12}+n_{21}}{2}\right\}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}+\frac{ \left\{n_{21}-\frac{n_{12}+n_{21}}{2}\right\}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}\\ &=\frac{ \left\{\frac{n_{12}-n_{21}}{2}\right\}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}+\frac{ \left\{-\frac{n_{12}-n_{21}}{2}\right\}^2}{\frac{n_{12}+n_{21}}{2}}\\ &=\frac{ \left(n_{12}-n_{21}\right)^2}{n_{12}+n_{21}} \end{align} そして、この統計量は、自由度$1$の $\chi^2$分布に従う。
検定を行う際は、有意水準 $\alpha$ を定め、得られたデータから検定統計量 $X^2$ の値を算出し、上側 $100\alpha\%$ 点 $\chi_\alpha^2 \left(1\right)$ と大小を比較し、$X^2 \lt \chi_\alpha^2 \left(1\right)$ なら帰無仮説を棄却せず、$\chi_\alpha^2 \left(1\right) \lt X^2$ なら帰無仮説を棄却する。 $\blacksquare$

〔4〕有効率の差の期待値・分散

（i）多項分布のモーメント母関数
モーメント母関数の定義式 $M_\boldsymbol{X} \left(\boldsymbol{\theta}\right)=\sum{e^{\theta_1X_1+\theta_2X_2+ \cdots +\theta_nX_n} \cdot f \left(x\right)}$ より、 \begin{align} M_{n_{12}-n_{21}} \left(\theta\right)&=E \left[e^{ \left(n_{12}-n_{21}\right)\theta}\right]\\ &=E \left[e^{n_{11} \cdot 0+ \left(n_{12}-n_{21}\right)\theta+n_{22} \cdot 0}\right]\\ &=\sum_{n_{11}+ \cdots +n_{22}=n}{e^{n_{11} \cdot 0+ \left(n_{12}-n_{21}\right)\theta+n_{22} \cdot 0} \cdot \frac{n!}{n_{11}! \cdots n_{22}!}\pi_{11}^{n_{11}} \cdots \pi_{22}^{n_{22}}}\\ &=\sum_{n_{11}+ \cdots +n_{22}=n}{\frac{n!}{n_{11}! \cdots n_{22}!} \left(\pi_{11}e^0\right)^{n_{11}} \left(\pi_{12}e^\theta\right)^{n_{12}} \left(\pi_{21}e^{-\theta}\right)^{n_{21}} \left(\pi_{22}e^0\right)^{n_{22}}} \end{align} 多項定理 \begin{align} \left(x_1+x_2+ \cdots +x_k\right)^n=\sum_{n_1+n_2+ \cdots +n_k=n}{\frac{n!}{n_1!n_2! \cdots n_k!}x_1^{n_1}x_2^{n_2} \cdots x_k^{n_k}} \end{align} より、 \begin{align} M_{n_{12}-n_{21}} \left(\theta\right)&= \left(\pi_{11}e^0+\pi_{12}e^\theta+\pi_{21}e^{-\theta}+\pi_{22}e^0\right)^n\\ &= \left(\pi_{11}+\pi_{12}e^\theta+\pi_{21}e^{-\theta}+\pi_{22}\right)^n \end{align} （ii）有効率の差の期待値と分散①
多項分布の期待値と分散の公式より、 \begin{gather} E \left(n_{12}\right)=n\pi_{12} \quad E \left(n_{21}\right)=n\pi_{21}\\ V \left(n_{12}\right)=n\pi_{12} \left(1-\pi_{12}\right) \quad V \left(n_{21}\right)=n\pi_{21} \left(1-\pi_{21}\right)\\ \mathrm{Cov} \left(n_{12},n_{21}\right)=-n\pi_{12}\pi_{21} \end{gather} 期待値の性質より、 \begin{align} E \left(\hat{\delta}\right)&=E \left(p_{1+}-p_{+1}\right)\\ &=E \left(\frac{n_{1+}}{n}-\frac{n_{+1}}{n}\right)\\ &=\frac{1}{n}E \left[n_{11}+n_{12}- \left(n_{11}+n_{21}\right)\right]\\ &=\frac{1}{n}E \left(n_{12}-n_{21}\right)\\ &=\frac{1}{n} \left(n\pi_{12}-n\pi_{21}\right)\\ &=\pi_{12}-\pi_{21} \end{align} 分散の性質 $V \left(X-Y\right)=V \left(X\right)+V \left(Y\right)-2\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)$ より、 \begin{align} V \left(\hat{\delta}\right)&=V \left(p_{1+}-p_{+1}\right)\\ &=V \left(\frac{n_{1+}}{n}-\frac{n_{+1}}{n}\right)\\ &=\frac{1}{n^2}V \left[n_{11}+n_{12}- \left(n_{11}+n_{21}\right)\right]\\ &=\frac{1}{n^2}V \left(n_{12}-n_{21}\right)\\ &=\frac{1}{n^2} \left\{n\pi_{12} \left(1-\pi_{12}\right)+n\pi_{21} \left(1-\pi_{21}\right)-2n\pi_{12}\pi_{21}\right\}\\ &=\frac{1}{n} \left(\pi_{12}-\pi_{12}^2+\pi_{21}-\pi_{21}^2+2\pi_{12}\pi_{11}\right)\\ &=\frac{1}{n} \left\{ \left(\pi_{12}+\pi_{21}\right)- \left(\pi_{12}-\pi_{21}\right)^2\right\} \end{align} （iii）有効率の差の期待値と分散②
（ii）の結果の式を変形していくと、 \begin{align} V \left(\hat{\delta}\right)&=\frac{1}{n} \left\{ \left(\pi_{1+}-\pi_{11}+\pi_{+1}-\pi_{11}\right)- \left(\pi_{1+}-\pi_{11}-\pi_{+1}+\pi_{11}\right)^2\right\}\\ &=\frac{1}{n} \left\{\pi_{1+}+\pi_{+1}-2\pi_{11}- \left(\pi_{1+}^2-2\pi_{1+}\pi_{+1}+\pi_{+1}^2\right)\right\}\\ &=\frac{1}{n} \left[\pi_{1+} \left(1-\pi_{1+}\right)+\pi_{+1} \left(1-\pi_{+1}\right)-2 \left\{\pi_{11}- \left(\pi_{11}+\pi_{12}\right) \left(\pi_{11}+\pi_{21}\right)\right\}\right]\\ &=\frac{1}{n} \left[\pi_{1+} \left(1-\pi_{1+}\right)+\pi_{+1} \left(1-\pi_{+1}\right)-2 \left\{\pi_{11} \left(1-\pi_{11}+\pi_{12}+\pi_{21}\right)-\pi_{12}\pi_{21}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{n} \left[\pi_{1+} \left(1-\pi_{1+}\right)+\pi_{+1} \left(1-\pi_{+1}\right)-2 \left(\pi_{11}\pi_{22}-\pi_{12}\pi_{21}\right)\right]\\ &=\frac{1}{n} \left[\pi_{1+} \left(1-\pi_{1+}\right)+\pi_{+1} \left(1-\pi_{+1}\right)-2\pi_{\bullet }\right] \end{align} $\blacksquare$

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