統計検定 1級 2016年 医薬生物学 問1 対応のある2標本の検定

本稿には、2016年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕対応のあるt検定

本問の場合、治療前後の測定値の差 $Z_i$ が互いに独立に正規分布 $$\begin{array}{r}Z\sim \mathrm{N}({\mu }_Z,{\sigma }_Z^2)\end{array}$$ に従うという仮定の下、 帰無仮説は、「前後差の平均値が $0$ である」
対立仮説は、「前後差の平均値が $0$ でない」 $$\begin{array}{r}\begin{array}{ccc}{H}_0:{\mu }_Z=0& \mathrm{v}.\mathrm{s}.& H_1:{\mu }_Z\ne 0\end{array}\end{array}$$ 観測値の前後差の標本平均と標本標準偏差を $\overline{Z},s_z$ として、検定統計量を $$\begin{array}{r}{t}_0=\frac{\sqrt{n}\overline{Z}}{s_z}\end{array}$$ として、 以下の棄却域と検定関数 $\phi (\theta ;\mathit{z})$ をもつ検定が、有意水準を $\alpha$ とする対応のある $\mathrm{t}$検定である。 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{z})=\{\begin{array}{cc}-t_{0.5\alpha }(n-1)\le t_0\le t_{0.5\alpha }(n-1)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ t_0\le -t_{0.5\alpha }(n-1)\mathrm{or}{t}_{0.5\alpha }(n-1)\le t_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ 検定統計量を求めると、 $$\begin{array}{r}{t}_0=\frac{\sqrt{7}\cdot 1.73}{2.01}=2.277\end{array}$$ $t_{0.025}\left(6\right)=2.447$ より、 $$\begin{array}{r}{t}_0<t_{0.025}\left(6\right)\end{array}$$ したがって、有意水準を5％で帰無仮説は棄却されない。 $◼$

〔2〕符号検定と符号付き順位検定の帰無仮説と必要な仮定

まず、検定する仮説について、どちらも 帰無仮説は、「前後差 $z$ の分布の中央値が $0$ である」
対立仮説は、「前後差 $z$ の分布の中央値が $0$ でない」 $$\begin{array}{r}\begin{array}{ccc}{H}_0:{\theta }_Z=0& \mathrm{v}.\mathrm{s}.& H_1:{\theta }_Z\ne 0\end{array}\end{array}$$ となる。 次に必要な仮定について、どちらも、 前後差の観測値が互いに独立である という仮定が必要である。 くわえて、母集団分布の形状について、符号検定を適用する場合は、母集団に関して必要な仮定は特にないが、符号付き順位検定を適用する場合は、 必ずしも正規分布でなくともよいが、中央値を中心として左右対称である という仮定が必要である。 $◼$

〔3〕符号検定の検定統計量の期待値と分散

中央値の定義より、帰無仮説のもとで、前後差 $z$ の符号が正である確率は、 $$\begin{array}{r}p=\frac{1}{2}\end{array}$$ 総患者数を $n$ とするとき、符号が正であるものの数 $T$ は、 $$\begin{array}{r}T\sim \mathrm{B}(n,\frac{1}{2})\end{array}$$ 二項分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{r}E\left(T\right|H_0)=\frac{n}{2}V\left(T\right|H_0)=\frac{n}{4}\end{array}$$ $◼$

〔4〕符号検定におけるexactな両側P値の算出

有意確率を直接的に求める場合、実際に観測された状況以上に極端な状況になる確率を求めるので、本問の場合は、 $$\begin{array}{r}P(6\le T)\end{array}$$ を求めればよい。 二項分布の確率関数を用いて、この確率を求めると、 $$\begin{array}{c}P(T=6)={}_7{C}_6{\left(\frac{1}{2}\right)}^6\frac{1}{2}=7\cdot \frac{1}{128}=\frac{7}{128}\\ P(T=7)={}_7{C}_7{\left(\frac{1}{2}\right)}^7=\frac{1}{128}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{rl}p& =\frac{7}{128}+\frac{1}{128}\\ & =\frac{1}{16}\end{array}$$ 両側検定の場合は、この値を2倍して $$\begin{array}{r}p=\frac{1}{16}\times 2=0.125\end{array}$$ $◼$

〔5〕符号付き順位検定

$z_i$ が正の値を取るか否かを以下のようなベルヌーイ試行と考え、 $$\begin{array}{c}{\delta }_i=\{\begin{array}{cc}0& z_i<0\\ 1& 0<z_i\end{array}\\ P({\delta }_i=0)=P({\delta }_i=1)=\frac{1}{2}\end{array}$$ $i$ を $z_i$ の絶対値の順位とすると、検定統計量を以下のように定義することもできる。 $$\begin{array}{c}{R}_i=i\cdot {\delta }_i\\ W^{+}=\sum _{i=1}^n{R}_i\end{array}$$ （i）期待値
確率変数 $R_i$ について、期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(R_i\right)& =i\{0\cdot P({\delta }_i=0)+1\cdot P({\delta }_i=1)\}\\ & =\frac{i}{2}\end{array}$$ 検定統計量 $W^{+}$ の期待値は、期待値の性質 $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(W^{+}\right|H_0)& =\sum _{i=1}^{n}E\left(R_i\right)\\ & =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}i\end{array}$$ 自然数の和の公式 $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(W^{+}\right|H_0)& =\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}\\ & =\frac{n(n+1)}{4}\end{array}$$ （ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(R_i^2\right)& =i\{0^2\cdot P({\delta }_i=0)+1^2\cdot P({\delta }_i=1)\}\\ & =\frac{i^2}{2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(R_i\right)=E\left(R_i^2\right)-{\left\{E\left(R_i\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(R_i\right)& =\frac{i^2}{2}-\frac{i^2}{4}\\ & =\frac{i^2}{4}\end{array}$$ 確率変数が互いに独立なとき、分散の性質 $V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(W^{+}\right|H_0)& =\sum _{i=1}^n\frac{i^2}{4}\\ & =\frac{1}{4}\sum _{i=1}^n{i}^2\end{array}$$ 自然数の2乗和の公式 $\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(W^{+}\right|H_0)& =\frac{1}{4}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}\end{array}$$ この検定統計量は、帰無仮説のもとで漸近的に、 $$\begin{array}{r}{W}^{+}\sim \mathrm{N}\{E\left(W^{+}\right|H_0),V\left(W^{+}\right|H_0)\}\end{array}$$ これを標準化した値を $$\begin{array}{r}X=\frac{W^{+}-E\left(W^{+}\right|H_0)}{\sqrt{V\left(W^{+}\right|H_0)}}\end{array}$$ とすると、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}(0,1)\end{array}$$ それぞれの値を求めると、 $$\begin{array}{c}E\left(W^{+}\right|H_0)=\frac{n(n+1)}{4}=\frac{7\cdot 8}{4}=14\\ V\left(W^{+}\right|H_0)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}=\frac{7\cdot 8\cdot 15}{24}=35\\ W^{+}=2+3+4+5+6+7=27\\ X=\frac{27-14}{\sqrt{35}}=2.197\end{array}$$ これを標準正規分布の上側2.5%点と比較すると、 $$\begin{array}{r}{z}_{0.025}=1.96<X\end{array}$$ したがって、有意水準を5％で帰無仮説は棄却される。この結論は、〔1〕と異なるが、本問ではサンプルサイズが小さく、患者ID2の差が他のデータと比べ高く、平均値にもとづく対応のある $\mathrm{t}$検定は、ノンパラメトリック法である符号付き順位検定より、外れ値の影響を受けたと考えられる。 $◼$