本稿には、2016年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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- この答案は、あくまでも筆者が自作したものであり、公式なものではありません。正式な答案については、公式問題集をご参照ください。
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〔1〕対数正規分布の中央値
$X_i$ の中央値を $X_i=m$ とすると、 \begin{gather} P \left(X_i \le m\right)=0.5\\ P \left(\log{X_i} \le \log{m}\right)=0.5\\ P \left(Y_i \le \log{m}\right)=0.5 \end{gather} 正規分布の場合、平均値＝中央値となるので、 \begin{align} \mu=\log{m}\Leftrightarrow m=e^\mu \end{align} $\blacksquare$
〔2〕対数正規分布の確率密度関数の導出
正規分布 $\mathrm{N} \left(\mu,\sigma^2\right)$ の確率密度関数は、 \begin{align} g \left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{ \left(y-\mu\right)^2}{2\sigma^2}} \end{align} $X=e^Y$ の取り得る値の範囲は、 \begin{align} y:-\infty\rightarrow\infty \quad \mathrm{when} \quad x:0\rightarrow\infty \end{align} 確率変数 $X$ の累積分布関数を $F \left(x\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、 \begin{align} F \left(x\right)&=P \left(X \le x\right)\\ &=P \left(\log{X} \le \log{x}\right)\\ &=P \left(Y \le \log{x}\right) \end{align} 累積分布関数の定義式 $G \left(y\right)=P \left(Y \le y\right)$ より、確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G \left(y\right)$ とすると、 \begin{align} F \left(x\right)=G \left(\log{x}\right) \end{align} 確率密度関数を $f \left(x\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f \left(x\right)=\frac{d}{dx}F \left(x\right)$ より、 \begin{align} f \left(x\right)&=\frac{d}{dx}F \left(x\right)\\ &=\frac{d}{dx}G \left(\log{x}\right)\\ &=g \left(\log{x}\right) \cdot \frac{1}{x}\\ &=\frac{1}{x\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{exp} \left[-\frac{ \left(\log{x}-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right] \end{align} $\blacksquare$
〔3〕対数正規分布の期待値と分散
確率変数の定義式より、
\begin{align}
Y=\log{X}\Leftrightarrow X=e^Y
\end{align}
モーメント母関数の定義式 $M_Y \left(t\right)=E \left(e^{Yt}\right)$ より、
\begin{align}
\mathrm{exp} \left(\mu t+\frac{t^2\sigma^2}{2}\right)&=E \left[ \left(e^Y\right)^t\right]\\
&=E \left(X^t\right)\tag{1}
\end{align}
（i）期待値
式 $(1)$ に $t=1$ を代入すると、
\begin{align}
E \left(X\right)=e^{\mu+\frac{1}{2}\sigma^2}
\end{align}
（ii）分散
式 $(1)$ に $t=2$ を代入すると、
\begin{align}
E \left(X^2\right)=e^{2\mu+\sigma^2}
\end{align}
分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、
\begin{align}
V \left(X\right)&=e^{2\mu+2\sigma^2}- \left(e^{\mu+\frac{\sigma^2}{2}}\right)^2\\
&=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}\\
&=e^{2\mu+\sigma^2} \left(e^{\sigma^2}-1\right)
\end{align}
$\blacksquare$
〔4〕母分散の見積もり値の算出
〔3〕の結果より、AUCの変動係数 $CV=\frac{\sqrt{V \left(X\right)}}{E \left(X\right)}$ は、 \begin{align} CV&=\frac{\sqrt{ \left\{\mathrm{exp} \left(2\mu+\sigma^2\right)\right\} \left(\mathrm{exp} \left(\sigma^2\right)-1\right)}}{\mathrm{exp} \left(\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right)}\\ &=\mathrm{exp} \left\{\frac{1}{2} \left(2\mu+\sigma^2\right)-\mu+\frac{\sigma^2}{2}\right\}\sqrt{ \left(\mathrm{exp} \left(\sigma^2\right)-1\right)}\\ &=\sqrt{ \left(\mathrm{exp} \left(\sigma^2\right)-1\right)} \end{align} 問題の条件 $CV=1$ より、 \begin{gather} \sqrt{ \left(\mathrm{exp} \left(\sigma^2\right)-1\right)}=1\\ \mathrm{exp} \left(\sigma^2\right)-1=1^2\\ \mathrm{exp} \left(\sigma^2\right)=2\\ \sigma^2=\log{2} \end{gather} $\blacksquare$
〔5〕中央値の比の信頼区間
〔1〕の結果より、 \begin{align} R=\frac{e^{\mu_A}}{e^{\mu_B}}=e^{\mu_A-\mu_B} \end{align} 正規分布の再生性より、$Y_i$ の分散 $\tau^2$ を未知数として、 \begin{align} Y_i=Y_i^A-Y_i^B \sim \mathrm{N} \left(\mu_A-\mu_B,\tau^2\right) \end{align} 母分散が未知の正規分布の母平均の90%信頼区間は、$\mu_d=\mu_A-\mu_B$ として、 \begin{gather} -t_{0.05} \left(n-1\right) \le \frac{\sqrt n \left(\bar{Y}-\mu_d\right)}{s} \le t_{0.05} \left(n-1\right)\\ \bar{Y}-\frac{s}{\sqrt n} \cdot t_{0.05} \left(n-1\right) \le \mu_d \le \bar{Y}+\frac{s}{\sqrt n} \cdot t_{0.05} \left(n-1\right)\\ 0.1-\frac{0.5}{\sqrt{10}} \cdot 1.833 \le \mu_d \le 0.1+\frac{0.5}{\sqrt{10}} \cdot 1.833\\ -0.19 \le \mu_d \le 0.39 \end{gather} これを指数変換してAUCの比の信頼区間を求めると、 \begin{gather} e^{-0.19} \le e^{\mu_A-\mu_B} \le e^{0.39}\\ 0.83 \le e^{\mu_A-\mu_B} \le 1.48 \end{gather} この信頼区間は、同等域 $ \left(0.8,1.25\right)$ に完全に含まれていないので、2つの薬剤の生物学的同等性は成り立つとはいえない。 $\blacksquare$
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