統計検定 1級 2016年 医薬生物学 問4 対数正規分布と同等性試験

本稿には、2016年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問4の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕対数正規分布の中央値

$X_i$ の中央値を $X_i=m$ とすると、 $$\begin{array}{c}P(X_i\le m)=0.5\\ P(\log X_i\le \log m)=0.5\\ P(Y_i\le \log m)=0.5\end{array}$$ 正規分布の場合、平均値＝中央値となるので、 $$\begin{array}{r}\mu =\log m\iff m=e^{\mu }\end{array}$$ $◼$

〔2〕対数正規分布の確率密度関数の導出

正規分布 $\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$ の確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}g\left(y\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(y-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}}\end{array}$$ $X=e^Y$ の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}y:-\mathrm{\infty }\to \mathrm{\infty }\mathrm{when}x:0\to \mathrm{\infty }\end{array}$$ 確率変数 $X$ の累積分布関数を $F\left(x\right)$ とすると、累積分布関数の定義式 $F\left(x\right)=P(X\le x)$ より、 $$\begin{array}{rl}F\left(x\right)& =P(X\le x)\\ & =P(\log X\le \log x)\\ & =P(Y\le \log x)\end{array}$$ 累積分布関数の定義式 $G\left(y\right)=P(Y\le y)$ より、確率変数 $Y$ の累積分布関数を $G\left(y\right)$ とすると、 $$\begin{array}{r}F\left(x\right)=G(\log x)\end{array}$$ 確率密度関数を $f\left(x\right)$ とすると、累積分布関数と確率密度関数との関係 $f\left(x\right)=\frac{d}{dx}F\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(x\right)& =\frac{d}{dx}F\left(x\right)\\ & =\frac{d}{dx}G(\log x)\\ & =g(\log x)\cdot \frac{1}{x}\\ & =\frac{1}{x\sqrt{2\pi }\sigma }\exp [-\frac{{(\log x-\mu )}^2}{2{\sigma }^2}]\end{array}$$ $◼$

〔3〕対数正規分布の期待値と分散

確率変数の定義式より、 $$\begin{array}{r}Y=\log X\iff X=e^Y\end{array}$$ モーメント母関数の定義式 $M_Y\left(t\right)=E\left(e^{Yt}\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}\exp (\mu t+\frac{t^2{\sigma }^2}{2})& =E\left[{\left(e^Y\right)}^t\right]\\ \text{(1)}& & =E\left(X^t\right)\end{array}$$ （i）期待値
式 $(1)$ に $t=1$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2}\end{array}$$ （ii）分散
式 $(1)$ に $t=2$ を代入すると、 $$\begin{array}{r}E\left(X^2\right)=e^{2\mu +{\sigma }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =e^{2\mu +2{\sigma }^2}-{\left(e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\right)}^2\\ & =e^{2\mu +2{\sigma }^2}-e^{2\mu +{\sigma }^2}\\ & =e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)\end{array}$$ $◼$

〔4〕母分散の見積もり値の算出

〔3〕の結果より、AUCの変動係数 $CV=\frac{\sqrt{V\left(X\right)}}{E\left(X\right)}$ は、 $$\begin{array}{rl}CV& =\frac{\sqrt{\left\{\exp (2\mu +{\sigma }^2)\right\}(\exp \left({\sigma }^2\right)-1)}}{\exp (\mu +\frac{{\sigma }^2}{2})}\\ & =\exp \{\frac{1}{2}(2\mu +{\sigma }^2)-\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}\}\sqrt{(\exp \left({\sigma }^2\right)-1)}\\ & =\sqrt{(\exp \left({\sigma }^2\right)-1)}\end{array}$$ 問題の条件 $CV=1$ より、 $$\begin{array}{c}\sqrt{(\exp \left({\sigma }^2\right)-1)}=1\\ \exp \left({\sigma }^2\right)-1=1^2\\ \exp \left({\sigma }^2\right)=2\\ {\sigma }^2=\log 2\end{array}$$ $◼$

〔5〕中央値の比の信頼区間

〔1〕の結果より、 $$\begin{array}{r}R=\frac{e^{{\mu }_A}}{e^{{\mu }_B}}=e^{{\mu }_A-{\mu }_B}\end{array}$$ 正規分布の再生性より、$Y_i$ の分散 ${\tau }^2$ を未知数として、 $$\begin{array}{r}{Y}_i=Y_i^A-Y_i^B\sim \mathrm{N}({\mu }_A-{\mu }_B,{\tau }^2)\end{array}$$ 母分散が未知の正規分布の母平均の90%信頼区間は、${\mu }_d={\mu }_A-{\mu }_B$ として、 $$\begin{array}{c}-t_{0.05}(n-1)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{Y}-{\mu }_d)}{s}\le t_{0.05}(n-1)\\ \overline{Y}-\frac{s}{\sqrt{n}}\cdot t_{0.05}(n-1)\le {\mu }_d\le \overline{Y}+\frac{s}{\sqrt{n}}\cdot t_{0.05}(n-1)\\ 0.1-\frac{0.5}{\sqrt{10}}\cdot 1.833\le {\mu }_d\le 0.1+\frac{0.5}{\sqrt{10}}\cdot 1.833\\ -0.19\le {\mu }_d\le 0.39\end{array}$$ これを指数変換してAUCの比の信頼区間を求めると、 $$\begin{array}{c}{e}^{-0.19}\le e^{{\mu }_A-{\mu }_B}\le e^{0.39}\\ 0.83\le e^{{\mu }_A-{\mu }_B}\le 1.48\end{array}$$ この信頼区間は、同等域 $(0.8,1.25)$ に完全に含まれていないので、2つの薬剤の生物学的同等性は成り立つとはいえない。 $◼$

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