本稿には、2016年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
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〔1〕正規分布の母平均の信頼区間（母分散が未知）
母分散が未知の場合、正規分布の母平均の信頼区間は、 \begin{gather} \bar{Y}-\frac{s_y}{\sqrt n} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n-1\right) \le \mu_B \le \bar{Y}+\frac{s_y}{\sqrt n} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n-1\right)\\ 20-\frac{10}{\sqrt{15}} \cdot t_{0.025} \left(14\right) \le \mu_B \le 20+\frac{10}{\sqrt{15}} \cdot t_{0.025} \left(14\right)\\ 20-2.14 \cdot \frac{10}{\sqrt{15}} \le \mu_B \le 20+2.14 \cdot \frac{10}{\sqrt{15}}\\ 14.46 \le \mu_B \le 25.54 \end{gather} $\blacksquare$
〔2〕正規分布の母平均の差の信頼区間と検定
本問の場合、標本統合不偏分散を
\begin{align}
s^2&=\frac{ \left(n-1\right)s_X^2+ \left(m-1\right)s_Y^2}{n+m-2}\\
&=\frac{14 \cdot 8^2+14 \cdot {10}^2}{28}\\
&=82
\end{align}
とするとき、
（i）対応のない $\mathrm{t}$検定の実施
帰無仮説のもとでの検定統計量は、
\begin{align}
t_0&=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\\
&=\frac{\sqrt{15} \left(27-20\right)}{\sqrt{82 \cdot 2}}\\
&\cong2.117
\end{align}
棄却域と検定関数は、
\begin{align}
\varphi \left(\theta;\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)= \left\{\begin{matrix}-t_{0.025} \left(28\right) \le t_0 \le t_{0.025} \left(28\right)&\mathrm{0:Hold\ }H_0\\t_0 \le -t_{0.025} \left(28\right) \quad \mathrm{or} \quad t_{0.025} \left(28\right) \le t_0&\mathrm{1:Reject\ }H_0\\\end{matrix}\right.
\end{align}
\begin{align}
t_{0.025} \left(28\right)=2.048 \lt t_0
\end{align}
したがって、有意水準5%で帰無仮説は棄却される。
（ii）信頼区間の算出
母平均の差 $\mu_d=\mu_X-\mu_Y$ の $95\%$ 信頼区間は、
\begin{gather}
\left(\bar{X}-\bar{Y}\right)-s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n+m-2\right) \le \mu_d \le \left(\bar{X}-\bar{Y}\right)+s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}} \cdot t_{0.5\alpha} \left(n+m-2\right)\\
\left(27-20\right)-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{164}} \cdot 2.048 \le \mu_d \le \left(27-20\right)+\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{164}} \cdot 2.048\\
0.23 \le \mu_d \le 13.77
\end{gather}
$\blacksquare$
〔3〕信頼区間の重なりと検定結果の関係に関する条件
問題文の条件における、処置Aと処置Bの母平均に関する一般的な95％信頼区間は、それぞれ、 \begin{gather} \bar{x}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \mu_A \le \bar{x}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\\ \bar{y}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \mu_B \le \bar{y}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \end{gather}
（I）信頼区間の重なりがないとき
（i）$\bar{y} \lt \bar{x}$ の場合
\begin{gather}
\bar{y}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \bar{x}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\\
\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \bar{x}-\bar{y}\\
t_{0.025} \left(n-1\right) \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s}\tag{1}
\end{gather}
（ii）$\bar{x} \lt \bar{y}$ の場合
\begin{gather}
\bar{x}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \bar{y}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\\
\bar{x}-\bar{y} \le -\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\\
\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s} \le -t_{0.025} \left(n-1\right)\tag{2}
\end{gather}
いっぽう、2標本両側 $\mathrm{t}$検定における検定統計量は、
\begin{align}
t=\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s}
\end{align}
（i）$\bar{y} \lt \bar{x}$ の場合
\begin{align}
t_{0.025} \left(2n-2\right) \le t\tag{3}
\end{align}
（ii）$\bar{x} \lt \bar{y}$ の場合
\begin{align}
t \le -t_{0.025} \left(2n-2\right)\tag{4}
\end{align}
のときに、帰無仮説は棄却される。
ここで、
\begin{gather}
t_{0.025} \left(2n-2\right) \lt t_{0.025} \left(n-1\right)\\
-t_{0.025} \left(n-1\right) \lt -t_{0.025} \left(2n-2\right)
\end{gather}
（i）$\bar{y} \lt \bar{x}$ の場合
\begin{gather}
\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s} \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s}
\end{gather}
したがって、信頼区間の重なりがなく、帰無仮説が棄却されるとき、式 $(1),(3)$ より、
\begin{gather}
t_{0.025} \left(n-1\right) \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s} \quad t_{0.025} \left(2n-2\right) \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s}\\
t_{0.025} \left(2n-2\right) \lt t_{0.025} \left(n-1\right) \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s} \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s}\\
\end{gather}
（ii）$\bar{x} \lt \bar{y}$ の場合
\begin{gather}
\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s} \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s}
\end{gather}
式 $(2),(4)$ より、
\begin{gather}
\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s} \le -t_{0.025} \left(n-1\right) \quad \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s} \le -t_{0.025} \left(2n-2\right)\\
\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s} \le \frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{2s} \le t_{0.025} \left(n-1\right) \lt -t_{0.025} \left(2n-2\right)
\end{gather}
これらは、どちらの場合も、両側検定の検定統計量が必ず棄却域に入っていることになるので、信頼区間の重なりがないとき、2標本両側 $\mathrm{t}$検定は有意になるといえる。
（II）信頼区間の重なりがあるとき
（i）$\bar{y} \lt \bar{x}$ の場合
\begin{gather}
\bar{x}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \bar{y}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\\
\bar{x}-\bar{y} \le \frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)
\end{gather}
信頼区間の重なり幅は、
\begin{align}
R&=\bar{y}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)- \left\{\bar{x}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\right\}\\
&=\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)- \left(\bar{x}-\bar{y}\right)
\end{align}
この式を変形すると、
\begin{gather}
\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)-R=\bar{x}-\bar{y}\\
\frac{\sqrt n}{\sqrt2s} \left\{\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)-R\right\}=\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s}=t
\end{gather}
式 $(3)$ のとき、帰無仮説が棄却されるので、
\begin{gather}
t_{0.025} \left(2n-2\right) \le \sqrt2t_{0.025} \left(n-1\right)-\frac{\sqrt n}{\sqrt2s}R\\
R \le \frac{s}{\sqrt n} \left\{2t_{0.025} \left(n-1\right)-\sqrt2t_{0.025} \left(2n-2\right)\right\}
\end{gather}
このとき、帰無仮説が棄却され、母平均の差の検定は有意となる。
（ii）$\bar{x} \lt \bar{y}$ の場合 \begin{gather} \bar{y}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \bar{x}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\\ -\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right) \le \bar{x}-\bar{y} \end{gather} 信頼区間の重なり幅は、 \begin{align} R&=\bar{x}+\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)- \left\{\bar{y}-\frac{s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\right\}\\ &=\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)+ \left(\bar{x}-\bar{y}\right) \end{align} この式を変形すると、 \begin{gather} R-\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)=\bar{x}-\bar{y}\\ \frac{\sqrt n}{\sqrt2s} \left\{R-\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\right\}=\frac{\sqrt n \left(\bar{x}-\bar{y}\right)}{\sqrt2s}=t \end{gather} 式 $(4)$ のとき、帰無仮説が棄却されるので、 \begin{gather} \frac{\sqrt n}{\sqrt2s} \left\{R-\frac{2s}{\sqrt n}t_{0.025} \left(n-1\right)\right\} \le -t_{0.025} \left(2n-2\right)\\ R \le \frac{s}{\sqrt n} \left\{2t_{0.025} \left(n-1\right)-\sqrt2t_{0.025} \left(2n-2\right)\right\} \end{gather} このとき、帰無仮説が棄却され、母平均の差の検定は有意となる。 $\blacksquare$
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