統計検定 1級 2016年 医薬生物学 問5 正規分布からの母平均の差に関する問題

本稿には、2016年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕正規分布の母平均の信頼区間（母分散が未知）

母分散が未知の場合、正規分布の母平均の信頼区間は、 $$\begin{array}{c}\overline{Y}-\frac{s_y}{\sqrt{n}}\cdot t_{0.5\alpha }(n-1)\le {\mu }_B\le \overline{Y}+\frac{s_y}{\sqrt{n}}\cdot t_{0.5\alpha }(n-1)\\ 20-\frac{10}{\sqrt{15}}\cdot t_{0.025}\left(14\right)\le {\mu }_B\le 20+\frac{10}{\sqrt{15}}\cdot t_{0.025}\left(14\right)\\ 20-2.14\cdot \frac{10}{\sqrt{15}}\le {\mu }_B\le 20+2.14\cdot \frac{10}{\sqrt{15}}\\ 14.46\le {\mu }_B\le 25.54\end{array}$$ $◼$

〔2〕正規分布の母平均の差の信頼区間と検定

本問の場合、標本統合不偏分散を $$\begin{array}{rl}{s}^2& =\frac{(n-1)s_X^2+(m-1)s_Y^2}{n+m-2}\\ & =\frac{14\cdot 8^2+14\cdot {10}^2}{28}\\ & =82\end{array}$$ とするとき、 （i）対応のない $\mathrm{t}$検定の実施
帰無仮説のもとでの検定統計量は、 $$\begin{array}{rl}{t}_0& =\frac{\overline{X}-\overline{Y}}{s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\\ & =\frac{\sqrt{15}(27-20)}{\sqrt{82\cdot 2}}\\ & \cong 2.117\end{array}$$ 棄却域と検定関数は、 $$\begin{array}{r}\phi (\theta ;\mathit{x},\mathit{y})=\{\begin{array}{cc}-t_{0.025}\left(28\right)\le t_0\le t_{0.025}\left(28\right)& 0:\mathrm{Hold}{H}_0\\ t_0\le -t_{0.025}\left(28\right)\mathrm{or}{t}_{0.025}\left(28\right)\le t_0& 1:\mathrm{Reject}{H}_0\end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}{t}_{0.025}\left(28\right)=2.048<t_0\end{array}$$ したがって、有意水準5%で帰無仮説は棄却される。
（ii）信頼区間の算出
母平均の差 ${\mu }_d={\mu }_X-{\mu }_Y$ の $95\mathrm{\%}$ 信頼区間は、
$$\begin{array}{c}(\overline{X}-\overline{Y})-s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}\cdot t_{0.5\alpha }(n+m-2)\le {\mu }_d\le (\overline{X}-\overline{Y})+s\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}\cdot t_{0.5\alpha }(n+m-2)\\ (27-20)-\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{164}}\cdot 2.048\le {\mu }_d\le (27-20)+\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{164}}\cdot 2.048\\ 0.23\le {\mu }_d\le 13.77\end{array}$$ $◼$

〔3〕信頼区間の重なりと検定結果の関係に関する条件

問題文の条件における、処置Aと処置Bの母平均に関する一般的な95％信頼区間は、それぞれ、 $$\begin{array}{c}\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le {\mu }_A\le \overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\\ \overline{y}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le {\mu }_B\le \overline{y}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\end{array}$$

（I）信頼区間の重なりがないとき
（i）$\overline{y}<\overline{x}$ の場合 $$\begin{array}{c}\overline{y}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le \overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\\ \frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le \overline{x}-\overline{y}\\ \text{(1)}& t_{0.025}(n-1)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\end{array}$$ （ii）$\overline{x}<\overline{y}$ の場合 $$\begin{array}{c}\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le \overline{y}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\\ \overline{x}-\overline{y}\le -\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\\ \text{(2)}& \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\le -t_{0.025}(n-1)\end{array}$$ いっぽう、2標本両側 $\mathrm{t}$検定における検定統計量は、 $$\begin{array}{r}t=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\end{array}$$ （i）$\overline{y}<\overline{x}$ の場合 $$\begin{array}{}\text{(3)}& t_{0.025}(2n-2)\le t\end{array}$$ （ii）$\overline{x}<\overline{y}$ の場合 $$\begin{array}{}\text{(4)}& t\le -t_{0.025}(2n-2)\end{array}$$ のときに、帰無仮説は棄却される。 ここで、 $$\begin{array}{c}{t}_{0.025}(2n-2)<t_{0.025}(n-1)\\ -t_{0.025}(n-1)<-t_{0.025}(2n-2)\end{array}$$ （i）$\overline{y}<\overline{x}$ の場合 $$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\end{array}$$ したがって、信頼区間の重なりがなく、帰無仮説が棄却されるとき、式 $(1),(3)$ より、 $$\begin{array}{c}{t}_{0.025}(n-1)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}{t}_{0.025}(2n-2)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\\ t_{0.025}(2n-2)<t_{0.025}(n-1)\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\end{array}$$ （ii）$\overline{x}<\overline{y}$ の場合 $$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\end{array}$$ 式 $(2),(4)$ より、 $$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\le -t_{0.025}(n-1)\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\le -t_{0.025}(2n-2)\\ \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}\le \frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{2s}\le t_{0.025}(n-1)<-t_{0.025}(2n-2)\end{array}$$ これらは、どちらの場合も、両側検定の検定統計量が必ず棄却域に入っていることになるので、信頼区間の重なりがないとき、2標本両側 $\mathrm{t}$検定は有意になるといえる。

（II）信頼区間の重なりがあるとき
（i）$\overline{y}<\overline{x}$ の場合 $$\begin{array}{c}\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le \overline{y}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\\ \overline{x}-\overline{y}\le \frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\end{array}$$ 信頼区間の重なり幅は、 $$\begin{array}{rl}R& =\overline{y}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)-\{\overline{x}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\}\\ & =\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)-(\overline{x}-\overline{y})\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{c}\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)-R=\overline{x}-\overline{y}\\ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}s}\{\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)-R\}=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}=t\end{array}$$ 式 $(3)$ のとき、帰無仮説が棄却されるので、 $$\begin{array}{c}{t}_{0.025}(2n-2)\le \sqrt{2}{t}_{0.025}(n-1)-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}s}R\\ R\le \frac{s}{\sqrt{n}}\{2t_{0.025}(n-1)-\sqrt{2}{t}_{0.025}(2n-2)\}\end{array}$$ このとき、帰無仮説が棄却され、母平均の差の検定は有意となる。

（ii）$\overline{x}<\overline{y}$ の場合 $$\begin{array}{c}\overline{y}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le \overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\\ -\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\le \overline{x}-\overline{y}\end{array}$$ 信頼区間の重なり幅は、 $$\begin{array}{rl}R& =\overline{x}+\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)-\{\overline{y}-\frac{s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\}\\ & =\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)+(\overline{x}-\overline{y})\end{array}$$ この式を変形すると、 $$\begin{array}{c}R-\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)=\overline{x}-\overline{y}\\ \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}s}\{R-\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\}=\frac{\sqrt{n}(\overline{x}-\overline{y})}{\sqrt{2}s}=t\end{array}$$ 式 $(4)$ のとき、帰無仮説が棄却されるので、 $$\begin{array}{c}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}s}\{R-\frac{2s}{\sqrt{n}}{t}_{0.025}(n-1)\}\le -t_{0.025}(2n-2)\\ R\le \frac{s}{\sqrt{n}}\{2t_{0.025}(n-1)-\sqrt{2}{t}_{0.025}(2n-2)\}\end{array}$$ このとき、帰無仮説が棄却され、母平均の差の検定は有意となる。 $◼$