統計検定 1級 2022年 統計数理 問3 ガンマ・ポアソン分布

本稿には、2022年に実施された統計検定1級『統計数理』 問3の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕ポアソン分布の期待値と分散

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\\ & =0\cdot \frac{{\lambda }^0{e}^{-\lambda }}{0!}+\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}x\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\\ & =\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{(x-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{x-1}}{(x-1)!}\\ & =\lambda e^{-\lambda }\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^y}{y!}\end{array}$$ 指数関数のマクローリン展開 $\sum _{y=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^y}{y!}=e^{\lambda }$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=\lambda e^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }=\lambda \end{array}$$ $◼$

（ii）分散
2次階乗モーメントの定義式 $E\left\{X(X-1)\right\}=\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left\{X(X-1)\right\}& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x(x-1)\cdot \frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{x!}\\ & =0+0+\sum _{x=2}^n\frac{{\lambda }^x{e}^{-\lambda }}{(x-2)!}\\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\sum _{x=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^{x-2}}{(x-2)!}\\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\sum _{z=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^z}{z!}\\ & ={\lambda }^2{e}^{-\lambda }\cdot e^{\lambda }\\ & ={\lambda }^2\end{array}$$ 階乗モーメントを用いた分散の公式 $V\left(X\right)=E\left\{X(X-1)\right\}+E\left(X\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(X\right)={\lambda }^2+\lambda -{\lambda }^2=\lambda \end{array}$$ $◼$

〔2〕ガンマ分布の期待値・分散

（i）期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\mathrm{\Lambda }\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\lambda \cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }d\lambda \\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{\alpha +1-1}{e}^{-\beta \lambda }d\lambda \end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta x}dx$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(\mathrm{\Lambda }\right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{{\beta }^{\alpha +1}}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)=\alpha \mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(\mathrm{\Lambda }\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\alpha \mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha +1}}\\ & =\frac{\alpha }{\beta }\end{array}$$

（ii）分散
期待値の定義式 $E\left(X^2\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)dx$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left({\mathrm{\Lambda }}^2\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^2\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }d\lambda \\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha +2-1}{e}^{-\beta x}dx\end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha }}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta x}dx$ より、 $$\begin{array}{r}E\left({\mathrm{\Lambda }}^2\right)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)}{{\beta }^{\alpha +2}}\end{array}$$ ガンマ関数の性質 $\mathrm{\Gamma }(\alpha +2)=\alpha (\alpha +1)\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left({\mathrm{\Lambda }}^2\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}\cdot \frac{\alpha (\alpha +1)\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{{\beta }^{\alpha +2}}\\ & =\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\beta }^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(\mathrm{\Lambda }\right)& =\frac{\alpha (\alpha +1)}{{\beta }^2}-\frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}\\ & =\frac{\alpha }{{\beta }^2}\end{array}$$ $◼$

〔3〕ガンマ・ポアソン分布の確率関数

確率変数 $X$ とパラメータ $\mathrm{\Lambda }$ の同時確率を考えると、これらが互いに独立なとき、 $$\begin{array}{rl}P(X=k,\mathrm{\Lambda }=\lambda )& =\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }\cdot \frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)}{\lambda }^{\alpha -1}{e}^{-\beta \lambda }\\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)k!}\cdot {\lambda }^{\alpha +k-1}\cdot e^{-(\beta +1)\lambda }\end{array}$$ 周辺確率関数の定義より、 $$\begin{array}{rl}f\left(k\right)& ={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)k!}\cdot {\lambda }^{\alpha +k-1}\cdot e^{-(\beta +1)\lambda }d\lambda \\ & =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)k!}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{\lambda }^{\alpha +k-1}\cdot e^{-(\beta +1)\lambda }d\lambda \end{array}$$ ガンマ関数の公式 $\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k)}{{(\beta +1)}^{\alpha +k}}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha +k-1}\cdot e^{-(\beta +1)x}dx$ より、 $$\begin{array}{rl}f\left(k\right)& =\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)k!}\cdot \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k)}{{(\beta +1)}^{\alpha +k}}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k)}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha \right)k!}\cdot {\left(\frac{\beta }{\beta +1}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{1}{\beta +1}\right)}^k\\ & =\frac{(\alpha -1+k)!}{(\alpha -1)!k!}\cdot {\left(\frac{\beta }{\beta +1}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{1}{\beta +1}\right)}^k\\ & ={}_{\alpha +k-1}{C}_k\cdot {\left(\frac{\beta }{\beta +1}\right)}^{\alpha }{\left(\frac{1}{\beta +1}\right)}^k\end{array}$$ これは、負の二項分布 $$\begin{array}{r}\mathrm{NB}(\alpha ,\frac{\beta }{\beta +1})\end{array}$$ の確率関数である。 $◼$

〔4〕ガンマ・ポアソン分布の期待値と分散

負の二項分布の確率変数 $Y$ を互いに独立に幾何分布に従う確率変数 $X_i(i=1,2,\cdots ,n)$ の和 $$\begin{array}{r}Y=X_1+X_2+\cdots +X_n\end{array}$$ であることを用いる。

（i）幾何分布の期待値
期待値の定義式 $E\left(X\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot {(1-p)}^{x}p\\ & =p\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot {(1-p)}^x\end{array}$$ 「等差×等比」型の級数の公式 $\left|r\right|>1\Rightarrow \sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}x\cdot r^x=\frac{r}{{(1-r)}^2}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =p\cdot \frac{1-p}{{\{1-(1-p)\}}^2}\\ & =p\cdot \frac{1-p}{p^2}\\ & =\frac{1-p}{p}\end{array}$$

（ii）分散
同様に、 2乗の期待値の定義式 $E\left(X^2\right)=\sum _{x=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot f\left(x\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X\right)& =\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot {(1-p)}^{x}p\\ & =p\sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot {(1-p)}^x\end{array}$$ 「等差×等比」型の級数の公式 $\left|r\right|<1\Rightarrow \sum _{x=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^2\cdot r^x=\frac{r^2+r}{{(1-r)}^3}$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(X^2\right)& =p\cdot \frac{{(1-p)}^2+(1-p)}{{\{1-(1-p)\}}^3}\\ & =p\cdot \frac{{(1-p)}^2+(1-p)}{p^3}\\ & =\frac{{(1-p)}^2+(1-p)}{p^2}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(X\right)=E\left(X^2\right)-{\left\{E\left(X\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(X\right)& =\frac{{(1-p)}^2+(1-p)}{p^2}-\frac{{(1-p)}^2}{p^2}\\ & =\frac{1-p}{p^2}\end{array}$$

期待値の性質 $E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}E\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)=E\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{n(1-p)}{p}\end{array}$$ 分散の性質 $V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\sum _{i=1}^{n}V\left(X_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}V\left(Y\right)=V\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{n(1-p)}{p^2}\end{array}$$ これらの式において、$n=\alpha ,p=\frac{\beta }{\beta +1},1-p=\frac{1}{\beta +1}$ とすると、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right|\lambda )=\alpha \cdot \frac{\beta +1}{\beta }\cdot \frac{1}{\beta +1}=\frac{\alpha }{\beta }\end{array}$$ $$\begin{array}{r}V\left(X\right|\lambda )=\alpha \cdot \frac{\beta +1}{\beta }\cdot \frac{\beta +1}{\beta }\cdot \frac{1}{\beta +1}=\frac{\alpha }{\beta }\left(\frac{\beta +1}{\beta }\right)\end{array}$$ $◼$

〔5〕ガンマ・ポアソン分布のモーメント法推定量

期待値のモーメント法による推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{E}\left(X\right)=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$$ 分散の推定量は、 $$\begin{array}{r}\hat{V}\left(X\right)=S^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(X_i-\overline{X})}^2\end{array}$$ 〔4〕の結果より、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& \overline{X}=\frac{\hat{\alpha }}{\hat{\beta }}\iff \hat{\alpha }=\hat{\beta }\overline{X}\text{(2)}& S^2=\frac{\hat{\alpha }(\hat{\beta }+1)}{{\hat{\beta }}^2}\iff \hat{\alpha }=\frac{S^2{\hat{\beta }}^2}{\hat{\beta }+1}\end{array}$$ 式 $(1),(2)$ より、 $$\begin{array}{c}\overline{X}=\frac{S^2{\hat{\beta }}^2}{\hat{\beta }+1}\\ \overline{X}=\frac{S^2\hat{\beta }}{\hat{\beta }+1}\\ (S^2-\overline{X})\hat{\beta }=\overline{X}\\ \hat{\beta }=\frac{\overline{X}}{S^2-\overline{X}}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\hat{\alpha }=\hat{\beta }\overline{X}=\frac{{\overline{X}}^2}{S^2-\overline{X}}\end{array}$$ $0<X_i\Rightarrow 0<\overline{X}$ より、これらの推定量が正となるための条件は、 $$\begin{array}{r}0<S^2-\overline{X}\end{array}$$ $◼$

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