統計検定 1級 2018年 医薬生物学 問1 生存時間分析：指数分布モデル

本稿には、2018年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問1の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕指数分布の尤度関数：打ち切りがない場合

尤度関数 $L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{rl}L\left(\lambda \right)& =\prod _{i=1}^n\lambda e^{-\lambda t_i}\\ & =e^{-\lambda (t_1+t_2+\cdots +t_n)}\cdot {\lambda }^n\\ & =e^{-\lambda \sum _{i=1}^n{t}_i}\cdot {\lambda }^n\end{array}$$ $◼$

〔2〕指数分布の尤度関数：打ち切りがある場合

指数分布の分布関数は、 $$\begin{array}{rl}F\left(t\right)& ={\int }_0^t\lambda e^{-\lambda u}du\\ & =\lambda {[-\frac{1}{\lambda }{e}^{-\lambda u}]}_0^t\\ & =-(e^{-\lambda t}-e^0)\\ & =1-e^{-\lambda t}\end{array}$$ 生存関数と分布関数の関係 $S\left(t\right)=1-F\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}S\left(t\right)& =1-(1-e^{-\lambda t})\\ & =e^{-\lambda t}\end{array}$$ イベント時間の尤度関数の定義式より、 $$\begin{array}{r}L\left(\lambda \right)=\prod _{i=1}^n{\left[f\left(t_i\right)\right]}^{{\delta }_i}{\left[S\left(t_i\right)\right]}^{1-{\delta }_i}\end{array}$$ イベント時間の確率密度関数、ハザード関数、生存関数の関係 $f\left(t\right)=\lambda \left(t\right)\cdot S\left(t\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}L\left(\lambda \right)& =\prod _{i=1}^n{[\lambda \left(t_i\right)\cdot S\left(t_i\right)]}^{{\delta }_i}{\left[S\left(t_i\right)\right]}^{1-{\delta }_i}\\ & =\prod _{i=1}^n{\left[\lambda \left(t_i\right)\right]}^{{\delta }_i}\cdot S\left(t_i\right)\\ & =\prod _{i=1}^n{\lambda }^{{\delta }_i}\cdot e^{-\lambda t_i}\end{array}$$ $◼$

〔3〕最尤推定量とフィッシャー情報量の導出：打ち切りがある場合

〔2〕の結果より、対数尤度関数 $l\left(\theta \right)=\log L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{r}l\left(\lambda \right)=\sum _{i=1}^n{\delta }_i\log \lambda -\lambda \sum _{i=1}^n{t}_i\end{array}$$ スコア関数 $S\left(\theta \right)=\frac{d}{d\theta }\log L\left(\theta \right)$ を求めると、 $$\begin{array}{rl}S\left(\lambda \right)& =\frac{1}{\lambda }\sum _{i=1}^n{\delta }_i-\sum _{i=1}^n{t}_i\\ & =\frac{\delta }{\lambda }-\sum _{i=1}^n{t}_i\end{array}$$ 尤度方程式 $S\left(\theta \right)=0$ を解くと、 $$\begin{array}{c}0=\frac{\delta }{\hat{\lambda }}-\sum _{i=1}^n{t}_i\\ \frac{\delta }{\hat{\lambda }}=\sum _{i=1}^n{t}_i\\ \hat{\lambda }=\frac{\delta }{\sum _{i=1}^n{t}_i}\end{array}$$ フィッシャー情報量の定義式 $I_n\left(\theta \right)=E[-\frac{\partial }{\partial \theta }S\left(\theta \right)]$ より、 $$\begin{array}{rl}I\left(\lambda \right)& =E[-(-\frac{\delta }{{\lambda }^2})]\\ & =\frac{\delta }{{\lambda }^2}\end{array}$$ $◼$

〔4〕対数ハザード比の漸近分散

デルタ法を用いて $g\left({\hat{\lambda }}_i\right)=\log {\hat{\lambda }}_i$ を期待値 $E\left({\hat{\lambda }}_i\right)={\lambda }_i$ まわりで近似すると、 $$\begin{array}{c}g\left({\hat{\lambda }}_i\right)\cong g\left({\lambda }_i\right)+g^{\prime }\left({\lambda }_i\right)({\hat{\lambda }}_i-{\lambda }_i)\\ \log {\hat{\lambda }}_i\cong \log {\lambda }_i+\frac{1}{{\lambda }_i}({\hat{\lambda }}_i-{\lambda }_i)\\ E(\log {\hat{\lambda }}_i)\cong \log {\lambda }_i\\ V(\log {\hat{\lambda }}_i)\cong \frac{1}{{\lambda }_i^2}V\left({\hat{\lambda }}_i\right)\end{array}$$ 〔3〕の結果より、$\log {\hat{\lambda }}_i$ の漸近分散は、 $$\begin{array}{r}V(\log {\hat{\lambda }}_i)\cong \frac{1}{{\lambda }_i^2}\cdot \frac{{\lambda }_i^2}{d_i}=\frac{1}{d_i}\end{array}$$ ここで、 ${\hat{\lambda }}_1$ と ${\hat{\lambda }}_2$ が互いに独立 $\Rightarrow$ $\log {\hat{\lambda }}_1$ と $\log {\hat{\lambda }}_2$ も互いに独立 したがって、分散の性質 $V(X-Y)=V\left(X\right)+V\left(Y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}V(\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2)\cong \frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}\end{array}$$ したがって、帰無仮説 $\log {\lambda }_1=\log {\lambda }_2$ を検定するための $Z$ 検定統計量は、 $$\begin{array}{rl}Z& =\frac{\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2}{\sqrt{V(\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2)}}\\ & =\frac{\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2}{\sqrt{\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}}}\end{array}$$ $◼$

〔5〕サンプルサイズの設計

〔4〕の帰無仮説のもとでは、漸近的に $$\begin{array}{r}\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2\sim \mathrm{N}(0,\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2})\end{array}$$ 対立仮説のもとでは、漸近的に $$\begin{array}{r}\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2\sim \mathrm{N}(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2,\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2})\end{array}$$ 期待＝必要イベント数が $d=r$ のとき、両仮説における検定統計量は、 $$\begin{array}{c}{Z}_0=\frac{\sqrt{r}(\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2)}{\sqrt{2}}\\ Z_1=\frac{\sqrt{r}\{(\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2)-(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)\}}{\sqrt{2}}\end{array}$$ 検出力の定義式より、 $$\begin{array}{rl}1-\beta & =P(Z_{0.5\alpha }\le Z_0|H_1)\\ & =P(Z_{0.5\alpha }\le \frac{\sqrt{r}(\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2)}{\sqrt{2}}|H_1)\\ & =P(Z_{0.5\alpha }-\frac{\sqrt{r}(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)}{\sqrt{2}}\le \frac{\sqrt{r}\{(\log {\hat{\lambda }}_1-\log {\hat{\lambda }}_2)-(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)\}}{\sqrt{2}}|H_1)\\ & =P(Z_{0.5\alpha }-\frac{\sqrt{r}(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)}{\sqrt{2}}\le Z_1|H_1)\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{c}{Z}_{0.5\alpha }-\frac{\sqrt{r}(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)}{\sqrt{2}}=Z_{1-\beta }\\ \frac{\sqrt{r}(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)}{\sqrt{2}}=Z_{0.5\alpha }-Z_{1-\beta }\\ \frac{\sqrt{r}(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)}{\sqrt{2}}=Z_{0.5\alpha }+Z_{\beta }\end{array}$$ この式を $r$ について解くと、 $$\begin{array}{c}\sqrt{r}=\frac{\sqrt{2}(Z_{0.5\alpha }+Z_{\beta })}{\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2}\\ r=\frac{2{(Z_{0.5\alpha }+Z_{\beta })}^2}{{(\log {\lambda }_1-\log {\lambda }_2)}^2}\end{array}$$ $◼$

関連記事

• 生存関数の推定
• コホート研究【生存時間】
• 生存時間の差に関する優越性試験のサンプルサイズ設計の公式
• 生存時間分布のパラメトリックモデル①：指数分布モデル
• 生存時間分布のパラメトリックモデル④：対数ロジスティック分布モデル