統計検定 1級 2017年 医薬生物学 問3 治療法の有効性に関する臨床試験

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問3の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕二項確率

ステージ1の $n_1$ 名の患者のうち、有効と判定される患者数 $X_1$ は、 $$\begin{array}{r}{X}_1\sim \mathrm{B}\{n_1{\pi }_0,n_1{\pi }_0(1-{\pi }_0)\}\end{array}$$ このとき、$X_1\le r_1$ となる確率は、二項分布の定義式より、 $$\begin{array}{r}P(X_1\le r_1|\pi ={\pi }_0)=\sum _{k=0}^{r_1}{}_{n_1}{C}_k\cdot {\pi }_0^k{(1-{\pi }_0)}^{n_1-k}\end{array}$$ $◼$

〔2〕第2種の過誤の確率

ステージ2に参加する $n_2$ 名の患者のうち、有効と判定される患者数を表す確率変数を $X_2$ とすると、最終的に有効と判定される患者数は、 $$\begin{array}{r}X=X_1+X_2\end{array}$$ このとき、$\pi ={\pi }_1$ のもとで治療法 $T$ が無効と判定される事象は、 ステージ1で無効と判定される
または
ステージ1をクリアし、ステージ2で無効と判定される すなわち、第2種の過誤の確率は、 $$\begin{array}{rl}\beta & =P(X_1\le r_1)+P(r_1+1\le X_1)\cdot P(X\le r)\\ & =P(X_1\le r_1)+P(r_1+1\le X_1)\cdot P(X_2\le r-x_1)\end{array}$$ 問題の定義より、例えば、ステージ1で $X_1=x_1$ となる確率は、 $$\begin{array}{r}P(X_1=x_1)=b(x_1:{\pi }_1,n_1)\end{array}$$ したがって、二項分布の累積確率の考え方により、
（i）$\pi ={\pi }_1$ のもとで、ステージ1で無効となる確率 $$\begin{array}{rl}{P}_1& =P(X_1\le r_1|\pi ={\pi }_1)\\ & =\sum _{x_1=0}^{r_1}b(x_1:{\pi }_1,n_1)\end{array}$$ （ii）$\pi ={\pi }_1$ のもとで、ステージ2で無効となる確率 $$\begin{array}{rl}{P}_2& =P(r_1+1\le X_1|\pi ={\pi }_1)\cdot P(X_2\le r-x_1|\pi ={\pi }_1)\\ & =\sum _{x_1=r_1+1}^{n_1}\left\{b(x_1:{\pi }_1,n_1)\sum _{x_2=0}^{r-x_1}b(x_2:{\pi }_1,n_2)\right\}\end{array}$$ したがって、求める第2種の過誤の確率は、 $$\begin{array}{r}\beta =\sum _{x_1=0}^{r_1}b(x_1:{\pi }_1,n_1)+\sum _{x_1=r_1+1}^{n_1}\left\{b(x_1:{\pi }_1,n_1)\sum _{x_2=0}^{r-x_1}b(x_2:{\pi }_1,n_2)\right\}\end{array}$$ $◼$

〔3〕第1種の過誤の確率

このとき、$\pi ={\pi }_0$ のもとで治療法 $T$ が有効と判定される事象は、 ステージ1をクリア
かつ
ステージ2をクリア すなわち、第1種の過誤の確率は、 $$\begin{array}{rl}\alpha & =P(r_1+1\le X_1)\cdot P(r+1\le X)\\ & =P(r_1+1\le X_1)\cdot P(r+1-x_1\le X_2)\end{array}$$ （i）$\pi ={\pi }_0$ のもとでステージ1をクリアする確率 $$\begin{array}{rl}{P}_1& =P(X_1\le r_1|\pi ={\pi }_0)\\ & =\sum _{x_1=r_1+1}^{n_1}b(x_1:{\pi }_0,n_1)\end{array}$$ （ii）$\pi ={\pi }_0$ のもとでステージ2をクリアする確率 $$\begin{array}{rl}{P}_2& =P(r+1-x_1\le X_2|\pi ={\pi }_0)\\ & =1-P(X_2\le r-x_1|\pi ={\pi }_0)\\ & =1-\sum _{x_2=0}^{r-x_1}b(x_2:{\pi }_0,n_2)\end{array}$$ したがって、求める第1種の過誤の確率は、 $$\begin{array}{r}\alpha =\sum _{x_1=r_1+1}^{n_1}\left[b(x_1:{\pi }_0,n_1)\{1-\sum _{x_2=0}^{r-x_1}b(x_2:{\pi }_0,n_2)\}\right]\end{array}$$ $◼$

〔4〕具体的な状況での過誤確率

〔2〕〔3〕の結果より、与えられた状況下での第1種・第2種の過誤の確率はそれぞれ以下のようになる。
（i）第1種の過誤の確率
第1種の過誤が起こるパターンを数え上げると、 $$\begin{array}{r}(X_1,X_2)=(1,3\sim 7)(2,2\sim 7)(3,1\sim 7)(4,0\sim 7)(5,0\sim 7)\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{rl}\alpha =& b(1:0.1,5)\times \sum _{x_2=3}^{7}b(x_2:0.1,7)\\ & +b(2:0.1,5)\times \sum _{x_2=2}^{7}b(x_2:0.1,7)\\ & +b(3:0.1,5)\times \sum _{x_2=1}^{7}b(x_2:0.1,7)\\ & +b(4:0.1,5)+b(5:0.1,5)\\ =& 0.3281\times \{1-(0.4783+0.3720+0.1240)\}\\ & +0.0729\times \{1-(0.4783+0.3720)\}\\ & +0.0081\times (1-0.4783)\\ & +0.0005\times 1+0.0000\times 1\\ =& 0.0241\end{array}$$ （ii）第2種の過誤の確率
第2種の過誤が起こるパターンを数え上げると、 $$\begin{array}{r}(X_1,X_2)=\left(0\right)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(3,0)\end{array}$$ よって、 $$\begin{array}{rl}\beta =& b(0:0.5,5)\\ & +b(1:0.5,5)\times \{b(0:0.5,7)+b(1:0.5,7)+b(2:0.5,7)\}\\ & +b(2:0.5,5)\times \{b(0:0.5,7)+b(1:0.5,7)\}\\ & +b(2:0.5,5)\times b(0:0.5,7)\\ =& 0.0313\\ & +0.1563\times (0.0078+0.0547+0.1641)\\ & +0.3125\times (0.0078+0.0547)\\ & +0.3125\times 0.0078\\ =& 0.0887\end{array}$$ ＊なお、第1種の過誤の確率については、治療法 $T$ が無効な場合（$\pi ={\pi }_0$）に、正しく無効と判断する確率を求め、1から引くことでも求めることができる。この場合、正しく無効と判断するパターンを数え上げると、 $$\begin{array}{r}(X_1,X_2)=(0,x)(1,0)(1,1)(1,2)(2,0)(2,1)(3,0)\end{array}$$ となる。 この確率を求め、1から引くと同様の結果が得られる。 $◼$

〔5〕試験参加者の期待値

まず、ステージ1は必ず実施されるので、ステージ1に参加する患者の期待値は、 $$\begin{array}{r}E\left(N_1\right)=5\times 1=5\end{array}$$ ステージ2について、 ステージ2が実施される場合は、$n_2=7$ 人が参加する
ステージ2が実施されない場合は、$n_2=0$ 人が参加する 治療法 $T$ が無効な場合（$\pi ={\pi }_0$）にステージ2が実施される確率（＝ステージ1をクリアする確率）は、 $$\begin{array}{rl}P(0+1\le X_1|\pi ={\pi }_0)& =1-P(X_1=0|\pi ={\pi }_0)\\ & =1-0.5905\\ & =0.4095\end{array}$$ 試験に参加する患者数 $N$ の期待値は、期待値の定義より、 $$\begin{array}{rl}E\left(N\right)& =5+(0\times 0.5905+7\times 0.4095)\\ & =7.8665\end{array}$$ $◼$