統計検定 1級 2017年 医薬生物学 問5 2つの教授法の比較

本稿には、2017年に実施された統計検定1級『医薬生物学』 問5の自作解答案を掲載しています。なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

〔1〕方法1でグループAに振り分けられる学生数の期待値と分散

与えられた条件のもとで、グループAに振り分けられた学生の数 $X$ は、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{B}(5,\frac{1}{2})\end{array}$$ よって、二項分布の確率関数より、 $$\begin{array}{rl}P(X=3)& ={}_5{C}_3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ & =\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^5\\ & =\frac{5}{16}\end{array}$$ 二項分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left(X\right)=np=5\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{2}\\ V\left(X\right)=np(1-p)=5\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{4}\end{array}$$ $◼$

〔2〕方法2でグループAに振り分けられる学生数の期待値と分散

このルールのもとでは、2人目までは必ずAとBに1人ずつ振り分けられる。3番目、4番目、5番目の振り分け結果を $(C_3,C_4,C_5)$ とすると、そのときの $Y$ の値とその確率は以下のようになる。 $$\begin{array}{c}(A,A,A)\to P(Y=4)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}\\ (A,B,A)\to P(Y=3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{4}=\frac{4}{24}\\ (B,A,A)\to P(Y=3)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{4}=\frac{4}{24}\\ (B,B,A)\to P(Y=2)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{24}\\ (A,A,B)\to P(Y=3)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{3}{24}\\ (A,B,B)\to P(Y=2)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{4}=\frac{4}{24}\\ (B,A,B)\to P(Y=2)=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \frac{2}{4}=\frac{4}{24}\\ (B,B,B)\to P(Y=1)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{24}\end{array}$$ これより、$Y$ の値とその確率はそれぞれ、 $$\begin{array}{c}P(Y=4)=\frac{1}{24}\\ P(Y=3)=\frac{3}{24}+\frac{4}{24}+\frac{4}{24}=\frac{11}{24}\\ P(Y=2)=\frac{4}{24}+\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{11}{24}\\ P(Y=1)=\frac{1}{24}\end{array}$$ （i）期待値
期待値の定義式 $E\left(Y\right)=\sum _{y=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\cdot f\left(y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y\right)& =4\cdot \frac{1}{24}+3\cdot \frac{11}{24}+2\cdot \frac{11}{24}+1\cdot \frac{1}{24}\\ & =\frac{60}{24}\\ & =\frac{5}{2}\end{array}$$ （ii）分散
2乗の期待値の定義式 $E\left(Y^2\right)=\sum _{y=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{y}^2\cdot f\left(y\right)$ より、 $$\begin{array}{rl}E\left(Y^2\right)& =16\cdot \frac{1}{24}+9\cdot \frac{11}{24}+4\cdot \frac{11}{24}+1\cdot \frac{1}{24}\\ & =\frac{160}{24}\\ & =\frac{20}{3}\end{array}$$ 分散の公式 $V\left(Y\right)=E\left(Y^2\right)-{\left\{E\left(Y\right)\right\}}^2$ より、 $$\begin{array}{rl}V\left(Y\right)& =\frac{20}{3}-\frac{25}{4}\\ & =\frac{80-75}{12}\\ & =\frac{5}{12}\end{array}$$ $◼$

〔3〕方法1と方法2の期待値・分散の大小関係

一般の $n$ について、$X$ は、 $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{B}(n,\frac{1}{2})\end{array}$$ 二項分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left(X\right)=\frac{n}{2}\\ V\left(X\right)=\frac{n}{4}\end{array}$$ $Y$ の分布は左右対称であることから、期待値は取り得る値 $1$ から $n-1$ の中点であるので $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)=\frac{1+n-1}{2}=\frac{n}{2}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}E\left(X\right)=E\left(Y\right)\end{array}$$ 方法2は両グループの人数を同じにする方向に学生を割り当てるので、平均値から離れた値を取る確率が方法1よりも小さくなる。したがって、分徴の定義式 $V\left(Y\right)=\sum _{y=1}^{n-1}{\{y-E\left(Y\right)\}}^2\cdot f\left(y\right)$ より、 $$\begin{array}{r}E\left(Y\right)<E\left(X\right)\end{array}$$ $◼$

〔4〕信頼区間の幅の比

グループAに振り分けられた96人の学生のテストの点数を $$\begin{array}{r}{T}_{Ai}\end{array}$$ その平均点を $$\begin{array}{r}{\overline{T}}_A=\frac{1}{96}\sum _{i=1}^{96}{T}_{Ai}\end{array}$$ とすると、 平均点 ${\overline{T}}_A$ は、正規分布の標本平均の分布であるから、 $$\begin{array}{r}{\overline{T}}_A\sim \mathrm{N}({\mu }_A,\frac{{20}^2}{96})\end{array}$$ このとき、真の平均点の95％の信頼区間は、 $$\begin{array}{c}{\overline{T}}_A-z_{0.025}\cdot \frac{20}{\sqrt{96}}\le {\mu }_A\le {\overline{T}}_A+z_{0.025}\cdot \frac{20}{\sqrt{96}}\\ {\overline{T}}_A-1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{96}}\le {\mu }_A\le {\overline{T}}_A+1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{96}}\\ {\overline{T}}_A-4.001\le {\mu }_A\le {\overline{T}}_A+4.001\end{array}$$ 信頼区間の幅は、 $$\begin{array}{r}{L}_A=2\cdot 1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{96}}\cong 8.00\end{array}$$ 同様に、${\mu }_B$ の95％の信頼区間の幅は、 $$\begin{array}{r}{L}_B=2\cdot 1.96\cdot \frac{20}{\sqrt{104}}\cong 7.69\end{array}$$ よって、これらの比は、 $$\begin{array}{rl}\frac{L_A}{L_B}& =\frac{2\cdot 1.96\cdot 20}{2\cdot 1.96\cdot 20}\cdot \frac{\sqrt{104}}{\sqrt{96}}\\ & =\frac{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{13}}{2\sqrt{2}\cdot \sqrt{12}}\\ & =\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{12}}\end{array}$$ $◼$

〔5〕信頼区間の幅にもとづくサンプルサイズの設計

〔4〕の結果より、グループAに振り分けられる学生の数は、 $$\begin{array}{r}96\le X\end{array}$$ 二項分布の正規近似により、漸近的に $$\begin{array}{r}X\sim \mathrm{N}(\frac{n}{2},\frac{n}{4})\end{array}$$ このとき、 $$\begin{array}{c}P(96\le X)\ge 0.8\\ P(\frac{96-\frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}}\le \frac{X-\frac{n}{2}}{\frac{\sqrt{n}}{2}})\ge 0.8\\ P(\frac{192-n}{\sqrt{n}}\le Z)\ge 0.8\\ P(z_{0.2}\le Z)\ge 0.8\end{array}$$ 付表1より、標準正規分布の下側20%点は $z_{0.2}\cong -0.84$ なので、 $$\begin{array}{c}\frac{192-n}{\sqrt{n}}\le -0.84\\ 0\le n-0.84\sqrt{n}-192\end{array}$$ ここで、$n=x^2$ とおくと、 $$\begin{array}{r}{x}^2-0.84x-192\ge 0\end{array}$$ 2次方程式の解の公式 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ より、 $$\begin{array}{rl}x& =\frac{0.84\pm \sqrt{{0.84}^2-4\cdot 1\cdot (-192)}}{2}\\ & =0.42\pm \sqrt{{0.42}^2+192}\end{array}$$ $0\le x$ より、 $$\begin{array}{r}x=0.421+\sqrt{{0.421}^2+192}\cong 14.283\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}n\le {14.283}^2\cong 204.00\end{array}$$ よって、全体の人数は204人以下でなければならない。 $◼$