ベルヌーイ分布の定義と概要

本稿では、ベルヌーイ分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、累積分布関数の導出、確率関数、期待値・分散、確率母関数、モーメント母関数の紹介が含まれます。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

• スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。

 

ベルヌーイ分布

定義・意味

以下の条件を満たす試行をベルヌーイ試行 Bernoulli trials という。
（a）1回の試行の結果が「成功」、または、「失敗」の2通りである
（b）それぞれの試行は独立である
（c）成功の確率は、何度繰り返しても不変である
成功確率と失敗確率がそれぞれ、 $$\begin{array}{r}\begin{array}{cc}p& \mathrm{Success}\\ 1-p& \mathrm{Failure}\end{array}\end{array}$$ のベルヌーイ試行を1回行い、 $$\begin{array}{r}X=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{Success}\\ 0& \mathrm{Failure}\end{array}\end{array}$$ という値を取る確率変数を $X$ とするとき、 $X(=0,1)$ が従う離散型確率分布をベルヌーイ分布 Bernoulli distribution と呼ぶ。

確率関数

確率関数 $f(x)$ は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{p}^x{(1-p)}^{1-x}& x=0,1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ で与えられる。

略記法

また、ベルヌーイ分布は、 $$\begin{array}{r}\mathrm{Ber}\left(p\right)\end{array}$$ と略記されることがある。

 

確率関数であることの証明

 

【公式】ベルヌーイ分布の累積分布関数

 

導出

 

重要事項のまとめ

略記法

$$\begin{array}{r}\mathrm{Ber}\left(p\right)\end{array}$$

パラメータ

$$\begin{array}{r}0<p<1\end{array}$$

確率関数

$$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{p}^x{(1-p)}^{1-x}& x=0,1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$

累積分布関数

$$\begin{array}{r}F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<0\\ 1-p& 0\le x<1\\ 1& 1\le x\end{array}\end{array}$$

期待値

$$\begin{array}{r}E\left(X\right)=p\end{array}$$

分散

$$\begin{array}{r}V\left(X\right)=p(1-p)\end{array}$$

確率母関数

$$\begin{array}{r}{G}_X\left(\theta \right)=(1-p)+p\theta \end{array}$$

モーメント母関数

$$\begin{array}{r}{M}_X\left(\theta \right)=(1-p)+p{e}^{\theta }\end{array}$$

 

参考文献

• 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.100-101
• 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.25
• 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.29
• 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.30
• 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.81-82

関連記事

• ベルヌーイ分布の確率母関数・モーメント母関数
• ベルヌーイ分布の期待値・分散