本稿では、ベルヌーイ分布の定義と概要についてまとめています。確率関数であることの証明、累積分布関数の導出、確率関数、期待値・分散、確率母関数、モーメント母関数の紹介が含まれます。
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ベルヌーイ分布
定義・意味
以下の条件を満たす試行をベルヌーイ試行 Bernoulli trials という。
（a）1回の試行の結果が「成功」、または、「失敗」の2通りである
（b）それぞれの試行は独立である
（c）成功の確率は、何度繰り返しても不変である
成功確率と失敗確率がそれぞれ、
\begin{align}
\begin{matrix}p&\mathrm{Success}\\1-p&\mathrm{Failure}\\\end{matrix}
\end{align}
のベルヌーイ試行を1回行い、
\begin{align}
X= \left\{\begin{matrix}1&\mathrm{Success}\\0&\mathrm{Failure}\\\end{matrix}\right.
\end{align}
という値を取る確率変数を $X$ とするとき、
$X \left(=0,1\right)$ が従う離散型確率分布をベルヌーイ分布 Bernoulli distribution と呼ぶ。
確率関数
確率関数 $f(x)$ は、 \begin{align} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}p^x \left(1-p\right)^{1-x}&x=0,1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。
略記法
また、ベルヌーイ分布は、 \begin{align} \mathrm{Ber} \left(p\right) \end{align} と略記されることがある。
確率関数であることの証明
（i）すべての $x$ に関して、$P \left(x\right) \geq 0$
確率の基本性質 $0 \le p \le 1$ より、$0 \le 1-p$ なので、
\begin{align}
f \left(x\right)=\ p^x \left(1-p\right)^{1-x} \geq 0
\end{align}
（ii）すべての確率の和が1
\begin{align}
\sum_{x=0}^{1}f \left(x\right)&=p^0 \left(1-p\right)^1+\ p^1 \left(1-p\right)^0\\
&= \left(1-p\right)+p\\
&=1
\end{align}
よって、確率関数の定義を満たしているため、確率関数である。
$\blacksquare$
【公式】ベルヌーイ分布の累積分布関数
【公式】
ベルヌーイ分布の累積分布関数
Cumulative Distribution Function of Bernoulli Distribution
ベルヌーイ分布 $\mathrm{Ber} \left(p\right)$ の累積分布関数は、 \begin{align} F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\1-p&0 \le x \lt 1\\1&1 \le x\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。
導出
累積分布関数の定義式 $F \left(x\right)=P \left(X \le x\right)$ より、
（i）$x \lt 0$ のとき、$f \left(x\right)=0$ より、
\begin{align}
F \left(x\right)=\sum_{k=-\infty}^{x}0=0
\end{align}
（ii）$0 \le x \lt 1$ のとき
\begin{align}
F \left(x\right)=f \left(0\right)=1-p
\end{align}
（iii）$1 \le x$ のとき
\begin{align}
F \left(x\right)=\sum_{x=0}^{1}f \left(x\right)=1-p+p=1
\end{align}
したがって、
\begin{align}
F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\1-p&0 \le x \lt 1\\1&1 \le x\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
重要事項のまとめ
略記法
\begin{align} \mathrm{Ber} \left(p\right) \end{align}
パラメータ
\begin{align} 0 \lt p \lt 1 \end{align}
確率関数
\begin{align} f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}p^x \left(1-p\right)^{1-x}&x=0,1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align}
累積分布関数
\begin{align} F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt 0\\1-p&0 \le x \lt 1\\1&1 \le x\\\end{matrix}\right. \end{align}
期待値
\begin{align} E \left(X\right)=p \end{align}
分散
\begin{align} V \left(X\right)=p \left(1-p\right) \end{align}
確率母関数
\begin{align} G_X \left(\theta\right)= \left(1-p\right)+p\theta \end{align}
モーメント母関数
\begin{align} M_X \left(\theta\right)= \left(1-p\right)+pe^\theta \end{align}
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.100-101
- 竹村 彰通 著. 現代数理統計学. 創文社, 1991, p.25
- 稲垣 宣生 著. 数理統計学. 裳華房, 2003, p.29
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.30
- 黒木 学 著. 数理統計学：統計的推論の基礎. 共立出版, 2020, p.81-82
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