本稿では、数列の和の公式を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
無限級数とその和
無限数列 $ \left\{a_n\right\}$ が与えられたとき、 \begin{gather} a_1+a_2+ \cdots +a_n+ \cdots \end{gather} の形の式を 数列 $ \left\{a_n\right\}$ から定められる無限級数または単に級数 series と呼ぶ。
数列 $ \left\{a_n\right\}$ の初項、第 $n$ 項などをそのまま、この級数の初項、第 $n$ 項という。また、この級数を、記号 $\Sigma$ を用いて \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}a_n \end{gather} とも表記する。
この無限級数において、初項から第 $n$ 項までの和 \begin{gather} \sum_{i=1}^{n}a_i=S_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n \end{gather} をこの級数の部分和 partial sum という。
この部分和の数列 $ \left\{S_n\right\}$ が収束して、その極限値が \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\sum_{i=1}^{n}a_i}=S \end{gather} であるとき、 無限級数 $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ は $S$ に収束するといい、$S$ をこの級数の和と呼ぶ。そのとき \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+ \cdots +a_n+ \cdots =S \end{gather} と書く。
数列 $ \left\{S_n\right\}$ が発散するときには、級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ も発散するという。
【公式】等差数列の和
【公式】
等差数列の和
Sum of Arithmetic Sequence
初項 $a$、公差 $d \left( \neq 0\right)$ の等比数列を \begin{gather} a_n=a+ \left(n-1\right)d \end{gather} とするとき、 初項から第 $n$ 項目までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{n}{2} \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\} \end{gather} で与えられる。 特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\pm\infty \end{gather}
導出
数列の和を改めて書くと、 \begin{gather} S_n=a+ \left(a+d\right)+ \cdots + \left\{a+ \left(n-1\right)d\right\}\tag{1} \end{gather} 式 $(1)$ を逆から書くと、 \begin{gather} S_n= \left\{a+ \left(n-1\right)d\right\}+ \left\{a+ \left(n-2\right)d\right\}+ \cdots + \left(a+d\right)+a\tag{2} \end{gather} 式 $(1),(2)$ の和を取ると、 \begin{gather} 2S_n= \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\}+ \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\}+ \cdots + \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\}\\ 2S_n=n \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\}\\ S_n=\frac{n}{2} \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\} \end{gather} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{n}{2} \left\{2a+ \left(n-1\right)d\right\}\right]}=\pm\infty \end{gather} $\blacksquare$
【公式】自然数の和
【公式】
自然数の和
Sum of Natural Numbers
自然数の $1$ から第 $n$ までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n \left(n+1\right)}{2} \end{gather} で与えられる。 特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\infty \end{gather}
導出
数列の和を改めて書くと、 \begin{gather} S_n=1+2+ \cdots +n\tag{1} \end{gather} 式 $(1)$ を逆から書くと、 \begin{gather} S_n=n+ \cdots +2+1\tag{2} \end{gather} 式 $(1),(2)$ の和を取ると、 \begin{gather} 2S_n= \left(n+1\right)+ \left(n+1\right)+ \cdots + \left(n+1\right)\\ 2S_n=n \left(n+1\right)\\ S_n=\frac{n \left(n+1\right)}{2} \end{gather} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{n \left(n+1\right)}{2}\right]}=\infty \end{gather} $\blacksquare$
【公式】自然数の二乗和
【公式】
自然数の二乗和
Sum of Squares of Natural Numbers
自然数の $1$ から第 $n$ までの二乗和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6} \end{gather} で与えられる。 特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\infty \end{gather}
導出
次の恒等式について、 \begin{gather} \left(k+1\right)^3=k^3+3k^2+3k+1\\ 3k^2+3k+1= \left(k+1\right)^3-k^3 \end{gather} 辺々の和を取ると、 \begin{gather} \sum_{k=1}^{n} \left(3k^2+3k+1\right)=\sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(k+1\right)^3-k^3\right\}\\ 3\sum_{k=1}^{n}k^2+3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(k+1\right)^3-k^3\right\}\tag{1} \end{gather} 右辺の和は、 \begin{align} \sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(k+1\right)^3-k^3\right\}&= \left(2^3-1^3\right)+ \left(3^3-2^3\right)+ \cdots + \left\{ \left(n+1\right)^3-n^3\right\}\\ &= \left(n+1\right)^3-1 \end{align} また、自然数の和の公式より、 \begin{gather} 3\sum_{k=1}^{n}k=\frac{3n \left(n+1\right)}{2} \quad \sum_{k=1}^{n}1=n \end{gather} したがって、式 $(1)$ は、 \begin{gather} 3\sum_{k=1}^{n}k^2+\frac{3n \left(n+1\right)}{2}+n= \left(n+1\right)^3-1\\ 3\sum_{k=1}^{n}k^2= \left(n+1\right)^3-\frac{3n \left(n+1\right)}{2}- \left(n+1\right)\\ \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6} \left(n+1\right) \left\{2 \left(n+1\right)^2-3n-2\right\}\tag{2} \end{gather} ここで右辺について、 \begin{align} 2 \left(n+1\right)^2-3n-2&=2n^2+4n+2-3n-2\\ &=2n^2+n\\ &=n \left(2n+1\right) \end{align} したがって、式 $(2)$ は、 \begin{gather} \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6} \end{gather} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)}{6}\right]}=\infty \end{gather} $\blacksquare$
【公式】自然数の三乗和
【公式】
自然数の三乗和
Sum of Cubes of Natural Numbers
自然数の $1$ から第 $n$ までの三乗和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2 \left(n+1\right)^2}{4} \end{gather} で与えられる。 特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\infty \end{gather}
導出
次の恒等式について、 \begin{gather} \left(k+1\right)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1\\ 4k^3+6k^2+4k+1= \left(k+1\right)^4-k^4 \end{gather} 辺々の和を取ると、 \begin{gather} \sum_{k=1}^{n} \left(4k^3+6k^2+4k+1\right)=\sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(k+1\right)^4-k^4\right\}\\ 4\sum_{k=1}^{n}k^3+6\sum_{k=1}^{n}k^2+4\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1=\sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(k+1\right)^4-k^4\right\}\tag{1} \end{gather} 右辺の和は、 \begin{align} \sum_{k=1}^{n} \left\{ \left(k+1\right)^4-k^4\right\}&= \left(2^4-1^4\right)+ \left(3^4-2^4\right)+ \cdots + \left\{ \left(n+1\right)^4-n^4\right\}\\ &= \left(n+1\right)^4-1 \end{align} また、自然数の二乗和の公式、自然数の和の公式より、 \begin{gather} 6\sum_{k=1}^{n}k^2=n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)\\ 4\sum_{k=1}^{n}k=2n \left(n+1\right)\\ \sum_{k=1}^{n}1=n \end{gather} したがって、式 $(1)$ は、 \begin{gather} 4\sum_{k=1}^{n}k^3+n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)+2n \left(n+1\right)+n= \left(n+1\right)^4-1\\ 4\sum_{k=1}^{n}k^3= \left(n+1\right)^4-n \left(n+1\right) \left(2n+1\right)-2n \left(n+1\right)- \left(n+1\right)\\ \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{1}{4} \left(n+1\right) \left\{ \left(n+1\right)^3-n \left(2n+1\right)- \left(2n+1\right)\right\}\tag{2} \end{gather} ここで右辺について、 \begin{align} \left(n+1\right)^3-n \left(2n+1\right)- \left(2n+1\right)&= \left(n+1\right)^3- \left(2n+1\right) \left(n+1\right)\\ &= \left(n+1\right) \left\{n^2+2n+1- \left(2n+1\right)\right\}\\ &=n^2 \left(n+1\right) \end{align} したがって、式 $(2)$ は、 \begin{gather} \sum_{k=1}^{n}k^3=\frac{n^2 \left(n+1\right)^2}{4} \end{gather} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{n^2 \left(n+1\right)^2}{4}\right]}=\infty \end{gather} $\blacksquare$
【公式】等比数列の和
無限等比数列 $ \left\{ar^{n-1}\right\}$ から作られる級数 \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}a_n=a+ar+ \cdots +ar^{n-1}+ \cdots \end{gather} を無限等比級数、あるいは単に等比級数 geometric series という。
【公式】
等比数列の和
Sum of Geometric Sequence
初項 $a$、公比 $r \left( \neq 0,1\right)$ の等比数列を \begin{gather} a_n=ar^{n-1} \end{gather} とするとき、 初項から第 $n$ 項目までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=a \cdot \frac{1-r^n}{1-r} \end{gather} で与えられる。 特に、$ \left|r\right| \lt 1$ のときの無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\frac{a}{1-r} \end{gather}
導出
数列の和を改めて書くと、 \begin{gather} S_n=a+a \cdot r+ \cdots +a \cdot r^{n-1}\tag{1} \end{gather} 式 $(1)$ の両辺に公比 $r$ をかけると、 \begin{gather} rS_n=a \cdot r+a \cdot r^2+ \cdots +a \cdot r^{n-1}+a \cdot r^n\tag{2} \end{gather} 式 $(1),(2)$ の差を取ると、 \begin{gather} S_n-rS_n=a-a \cdot r^n\\ \left(1-r\right)S_n=a \left(1-r^n\right)\\ S_n=a \cdot \frac{1-r^n}{1-r} \end{gather} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、
［1］$1 \lt \left|r\right|$ のとき
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[a \cdot \frac{1-r^n}{1-r}\right]}=\pm\infty
\end{gather}
［2］$1 \lt \left|r\right|$ のとき
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[a \cdot \frac{1-r^n}{1-r}\right]}=a \cdot \frac{1-0}{1-r}=\frac{a}{1-r}
\end{gather}
$\blacksquare$
【公式】連続する二整数の積の逆数の和
【公式】
連続する二整数の積の逆数の和
Sum of Sequence of Fractions
連続する二整数の積の逆数の数列を \begin{gather} a_n=\frac{1}{n \left(n+1\right)} \end{gather} とするとき、 初項から第 $n$ 項目までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{n}{n+1} \end{gather} で与えられる。 特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=1 \end{gather}
導出
数列の一般項を部分分数分解すると、 \begin{gather} a_n=\frac{1}{n \left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \end{gather} これを用いて数列の和を書くと、 \begin{align} S_n&= \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+ \cdots + \left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+ \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\\ &=\frac{n}{n+1} \end{align} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{n}{n+1}\right]}=1 \end{gather} $\blacksquare$
【公式】連続する三整数の積の逆数の和
【公式】
連続する三整数の積の逆数の和
Sum of Sequence of Fractions
連続する三整数の積の逆数の数列を \begin{gather} a_n=\frac{1}{n \left(n+1\right) \left(n+2\right)} \end{gather} とするとき、 初項から第 $n$ 項目までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{1}{2} \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{ \left(n+1\right) \left(n+2\right)}\right] \end{gather} で与えられる。 特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\frac{1}{4} \end{gather}
導出
数列の一般項を部分分数分解すると、 \begin{gather} a_n=\frac{1}{n \left(n+1\right) \left(n+2\right)}=\frac{1}{2} \left[\frac{1}{n \left(n+1\right)}-\frac{1}{ \left(n+1\right) \left(n+2\right)}\right] \end{gather} これを用いて数列の和を書くと、 \begin{align} S_n&=\frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{2 \cdot 3}\right)+ \left(\frac{1}{2 \cdot 3}-\frac{1}{3 \cdot 4}\right)+ \cdots + \left\{\frac{1}{n \left(n+1\right)}-\frac{1}{ \left(n+1\right) \left(n+2\right)}\right\}\right]\\ &=\frac{1}{2} \left[\frac{1}{1 \cdot 2}-\frac{1}{ \left(n+1\right) \left(n+2\right)}\right] \end{align} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{1}{4}-\frac{1}{2 \left(n+1\right) \left(n+2\right)}\right]}=\frac{1}{4} \end{gather} $\blacksquare$
【公式】等差×等比数列の和（自然数）
【公式】
等差×等比数列の和（自然数）
Sum of Arithmetico-Geometric Sequence (Natural Numbers)
等比×等差型の数列を $r \left( \neq 0,1\right)$ として、 \begin{gather} a_n=n \cdot r^{n-1} \end{gather} とするとき、 初項から第 $n$ 項目までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{nr^n}{1-r} \end{gather} で与えられる。 特に、$ \left|r\right| \lt 1$ のときの無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\frac{1}{ \left(1-r\right)^2} \end{gather}
導出
数列の和を改めて書くと、 \begin{gather} S_n=1+2 \cdot r+ \cdots +nr^{n-1}\tag{1} \end{gather} 式 $(1)$ の両辺に公比 $r$ をかけると、 \begin{gather} rS_n=r+2r^2+ \cdots +nr^n\tag{2} \end{gather} 式 $(1),(2)$ の差を取ると、 \begin{gather} S_n-rS_n= \left(1+r+r^2+r^3+ \cdots +r^{n-1}\right)-nr^n\\ \left(1-r\right)S_n= \left(1+r+r^2+r^3+ \cdots +r^{n-1}\right)-nr^n\\ \left(1-r\right)S_n=\frac{1-r^n}{1-r}-nr^n\\ S_n=\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{nr^n}{1-r} \end{gather} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、
［1］$1 \lt \left|r\right|$ のとき
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{nr^n}{1-r}\right]}=\pm\infty
\end{gather}
［2］$1 \lt \left|r\right|$ のとき
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{nr^n}{1-r}\right]}=\frac{1}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{1}{1-r}\lim_{n\rightarrow\infty}{nr^n}\tag{3}
\end{gather}
ここで、$r=\frac{1}{p}$ とすると、
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{nr^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{p^n}}
\end{gather}
ロピタルの定理より、
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{p^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{np^{n-1}}}=0
\end{gather}
したがって、式 $(3)$ より、
\begin{gather}
\lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\frac{1}{ \left(1-r\right)^2}
\end{gather}
$\blacksquare$
【公式】等差×等比数列の和（自然数の平方）
【公式】
等差×等比数列の和（自然数の平方）
Sum of Arithmetico-Geometric Sequence (Squares of Natural Numbers)
等比×等差型の数列を \begin{gather} a_n=n^2 \cdot r^{n-1} \end{gather} とするとき、 初項から第 $n$ 項目までの和は、 \begin{gather} S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k=\frac{2 \left(1-r^n\right)}{ \left(1-r\right)^3}-\frac{2nr^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{n^2r^n}{1-r} \end{gather} で与えられる。 特に、$ \left|r\right| \lt 1$ のときの無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{gather} S_n=\frac{2}{ \left(1-r\right)^3}-\frac{1}{ \left(1-r\right)^2} \end{gather}
導出
数列の和を改めて書くと、 \begin{gather} S_n=1+4r+ \cdots +n^2r^{n-1}\tag{1} \end{gather} 式 $(1)$ の両辺に公比 $r$ をかけると、 \begin{gather} rS_n=r+4r^2+ \cdots +n^2r^n\tag{2} \end{gather} 式 $(1),(2)$ の差を取ると、 \begin{align} S_n-rS_n&= \left\{1+3r+5r+ \cdots + \left(2n-1\right)r^{n-1}\right\}-n^2r^n\\ \left(1-r\right)S_n&= \left\{1+3r+5r+ \cdots + \left(2n-1\right)r^{n-1}\right\}-n^2r^n\\ \left(1-r\right)S_n&=\sum_{k=1}^{n}{ \left(2k-1\right)r^{n-1}}-n^2r^n\\ &=2\sum_{k=1}^{n}{k \cdot r^{n-1}}-\sum_{k=1}^{n}r^{n-1}-n^2r^n\\ &=2 \left\{\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{nr^n}{1-r}\right\}-\frac{1-r^n}{1-r}-n^2r^n\\ &=\frac{2 \left(1-r^n\right)}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{2nr^n}{1-r}-\frac{1-r^n}{1-r}-n^2r^n\\ S_n&=\frac{2 \left(1-r^n\right)}{ \left(1-r\right)^3}-\frac{2nr^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{n^2r^n}{1-r} \end{align} $\blacksquare$
特に、無限級数（$n\rightarrow\infty$）は、 \begin{align} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}&=\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{2 \left(1-r^n\right)}{ \left(1-r\right)^3}-\frac{2nr^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{1-r^n}{ \left(1-r\right)^2}-\frac{n^2r^n}{1-r}\right]}\\ &=\frac{2}{ \left(1-r\right)^3}-\frac{1}{ \left(1-r\right)^2}-\lim_{n\rightarrow\infty}{ \left[\frac{2nr^n}{ \left(1-r\right)^2}+\frac{n^2r^n}{1-r}\right]}\tag{3} \end{align} ここで、$r=\frac{1}{p}$ とすると、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{nr^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{p^n}} \quad \lim_{n\rightarrow\infty}{n^2r^n}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^2}{p^n}} \end{gather} ロピタルの定理より、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^2}{p^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2n}{np^{n-1}}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2}{n \left(n-1\right)p^{n-2}}}=0\\ \lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n}{p^n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{np^{n-1}}}=0 \end{gather} したがって、式 $(3)$ より、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{S_n}=\frac{2}{ \left(1-r\right)^3}-\frac{1}{ \left(1-r\right)^2} \end{gather} $\blacksquare$
無限級数の和の計算
収束する無限級数については次のことが成り立つ。
【定理】
無限級数の和の計算
Calculating Sums of Infinite Series
無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n,\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ が収束して、 \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}a_n=S \quad \sum_{n=1}^{\infty}b_n=T \end{gather} ならば \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}{ka_n}=kS\tag{1} \end{gather} ただし、$k$は定数 \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n+b_n\right)=S+T\tag{2} \end{gather} \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n-b_n\right)=S-T\tag{3} \end{gather} が成り立つ。
級数の収束・発散と数列の収束・発散
収束する無限級数については次のことが成り立つ。
【命題】
級数の収束・発散と数列の収束・発散
Convergence and Divergence of Sequences and Infinite Series
無限級数 \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}a_n \end{gather} が収束するならば、 \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=0 \end{gather} である。
この対偶を取ると、数列 \begin{gather} \left\{a_n\right\} \end{gather} が0に収束しなければ、 級数 \begin{gather} \sum_{n=1}^{\infty}a_n \end{gather} は発散する。
導出
無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると、$2 \le n$ のとき、 \begin{gather} a_n=S_n-S_{n-1} \end{gather} この無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ が $S$ に収束するならば、$n\rightarrow\infty$ のとき、 \begin{gather} S_n=S \quad S_{n-1}=S \end{gather} したがって、 \begin{gather} a_n=S-S=0 \end{gather} $\blacksquare$
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本 3. 新装版, 岩波書店, 2019, p.579-580
- 松坂 和夫 著. 数学読本 3. 新装版, 岩波書店, 2019, p.586-587
- 松坂 和夫 著. 数学読本 3. 新装版, 岩波書店, 2019, p.591-593
- 松坂 和夫 著. 数学読本 3. 新装版, 岩波書店, 2019, p.596-597
- 松坂 和夫 著. 数学読本 4. 新装版, 岩波書店, 2019, p.673-677, p.682-686
- 等差数列の和. 高校数学の美しい物語. 2022-07-16. https://manabitimes.jp/math/1120.
- 4乗の和，べき乗の和の公式. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/645.
- 等比数列の和の公式（例題・証明・応用）. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/948.
- 分数で表された数列の和の問題と一般化. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1380.
- 等比×等差の和を求める２通りの方法. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/720.
0 件のコメント:
コメントを投稿