本稿では、確率の基本性質を証明しています。
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【定理】確率の基本性質
【定理】
確率の基本性質
Basic Properties of Probability
（i）空集合の確率は0 \begin{align} P \left(\emptyset\right)=0 \end{align}
（ii）$A_1,A_2,A_3, \cdots ,A_n$ が有限個の互いに排反する事象 $A_i \cap A_j=\emptyset,\ i \neq j$ のとき、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)=\sum_{i=1}^{n}P \left(A_i\right) \end{align}
（iii）$A$ が事象ならば、 \begin{align} P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right) \end{align}
（iv）事象 $A,B$ が $A\subset B$ ならば、 \begin{align} P \left(A\right) \le P \left(B\right) \end{align}
（v）$A$ が事象ならば、 \begin{align} 0 \le P \left(A\right) \le 1 \end{align}
証明
（i）確率の公理 $P \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P \left(A_i\right)$ より、 \begin{align} P \left(\Omega\right)=P \left(\Omega\right)+P \left(\emptyset\right)+P \left(\emptyset\right)+ \cdots \end{align} 確率の公理 $P \left(\Omega\right)=1$ より、 \begin{gather} 1=1+P \left(\emptyset\right)+P \left(\emptyset\right)+ \cdots \\ 0=P \left(\emptyset\right)+P \left(\emptyset\right)+ \cdots \end{gather} 確率の公理 $P \left(\emptyset\right) \geq 0$ より、 \begin{gather} P \left(\emptyset\right)=0\\ \Omega= \left\{\emptyset,A_1,A_2,A_3, \cdots \right\} \end{gather} $\blacksquare$
（ii）$A_{n+1}=A_{n+2}= \cdots =\emptyset$ とすると、 \begin{align} A_1,A_2,A_3, \cdots ,A_n \end{align} は互いに互いに排反する事象となる。 確率の公理 $P \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i=1}^{\infty}P \left(A_i\right)$ より、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)=P \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)+P \left(\bigcup_{i=n+1}^{\infty}A_i\right) \end{align} $P \left(\emptyset\right)=0$ より、 \begin{align} P \left(\bigcup_{i=1}^{n}A_i\right)&=P \left(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^{\infty}P \left(A_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^{n}P \left(A_i\right)+\sum_{i=n+1}^{\infty}P \left(A_i\right)\\ &=\sum_{i=1}^{n}P \left(A_i\right)+\sum_{i=n+1}^{\infty}P \left(\emptyset\right)\\ &=\sum_{i=1}^{n}P \left(A_i\right) \end{align} $\blacksquare$
（iii）$A \cup A^C=\Omega,A \cap A^C=\emptyset$ なので、確率の公理 $P \left(\Omega\right)=1$ より、 \begin{align} 1=P \left(\Omega\right)=P \left(A \cup A^C\right) \end{align} 事象 $A,B$ が互いに排反な事象 $A \cap B=\emptyset$ のとき、$P \left(A \cup B\right)=P \left(A\right)+P \left(B\right)$ が成り立つので、 \begin{gather} 1=P \left(A \cup A^C\right)=P \left(A\right)+P \left(A^C\right)\\ P \left(A^C\right)=1-P \left(A\right) \end{gather} $\blacksquare$
（iv）$B=A \cup \left(B \cap A^C\right)$ であり、$A$ と $B \cap A^C$ が互いに排反なので、 \begin{align} P \left(B\right)=P \left(A\right)+P \left(B \cap A^C\right) \end{align} 確率の公理 $0 \le P \left(B \cap A^C\right)$ より、 \begin{align} P \left(A\right) \le P \left(B\right) \end{align} $\blacksquare$
（v）$A\subset\Omega$ なので、確率の公理 $0 \le P \left(A\right),P \left(\Omega\right)=1$ と $P \left(A\right) \le P \left(\Omega\right)$ より、 \begin{align} 0 \le P \left(A\right) \le 1 \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 小寺 平治 著. 数理統計：明解演習. 共立出版, 1986, p.4
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.7
- 久保川 達也 著, 新井 仁之, 小林 俊行, 斎藤 毅, 吉田 朋広 編. 現代数理統計学の基礎. 共立出版, 2017, p.3-4
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