確率の基本性質の証明

（i）確率の公理 $P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}P\left(\mathrm{\Omega }\right)=P\left(\mathrm{\Omega }\right)+P\left(\mathrm{\varnothing }\right)+P\left(\mathrm{\varnothing }\right)+\cdots \end{array}$$ 確率の公理 $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$ より、 $$\begin{array}{c}1=1+P\left(\mathrm{\varnothing }\right)+P\left(\mathrm{\varnothing }\right)+\cdots \\ 0=P\left(\mathrm{\varnothing }\right)+P\left(\mathrm{\varnothing }\right)+\cdots \end{array}$$ 確率の公理 $P\left(\mathrm{\varnothing }\right)\ge 0$ より、 $$\begin{array}{c}P\left(\mathrm{\varnothing }\right)=0\\ \mathrm{\Omega }=\{\mathrm{\varnothing },A_1,A_2,A_3,\cdots \}\end{array}$$ $◼$

（ii）$A_{n+1}=A_{n+2}=\cdots =\mathrm{\varnothing }$ とすると、 $$\begin{array}{r}{A}_1,A_2,A_3,\cdots ,A_n\end{array}$$ は互いに互いに排反する事象となる。 確率の公理 $P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_i\right)$ より、 $$\begin{array}{r}P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)=P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)+P\left(\bigcup _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\end{array}$$ $P\left(\mathrm{\varnothing }\right)=0$ より、 $$\begin{array}{rl}P\left(\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right)& =P\left(\bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)+\sum _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}P\left(A_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)+\sum _{i=n+1}^{\mathrm{\infty }}P\left(\mathrm{\varnothing }\right)\\ & =\sum _{i=1}^{n}P\left(A_i\right)\end{array}$$ $◼$

（iii）$A\cup A^C=\mathrm{\Omega },A\cap A^C=\mathrm{\varnothing }$ なので、確率の公理 $P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$ より、 $$\begin{array}{r}1=P\left(\mathrm{\Omega }\right)=P(A\cup A^C)\end{array}$$ 事象 $A,B$ が互いに排反な事象 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ のとき、$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$ が成り立つので、 $$\begin{array}{c}1=P(A\cup A^C)=P\left(A\right)+P\left(A^C\right)\\ P\left(A^C\right)=1-P\left(A\right)\end{array}$$ $◼$

（iv）$B=A\cup (B\cap A^C)$ であり、$A$ と $B\cap A^C$ が互いに排反なので、 $$\begin{array}{r}P\left(B\right)=P\left(A\right)+P(B\cap A^C)\end{array}$$ 確率の公理 $0\le P(B\cap A^C)$ より、 $$\begin{array}{r}P\left(A\right)\le P\left(B\right)\end{array}$$ $◼$

（v）$A\subset \mathrm{\Omega }$ なので、確率の公理 $0\le P\left(A\right),P\left(\mathrm{\Omega }\right)=1$ と $P\left(A\right)\le P\left(\mathrm{\Omega }\right)$ より、 $$\begin{array}{r}0\le P\left(A\right)\le 1\end{array}$$ $◼$