本稿では、連続一様分布の順序統計量の分布がベータ分布であることを証明しています。
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【定理】連続一様分布の順序統計量の分布
【定理】
連続一様分布の順序統計量の分布
Distribution of Order Statistics of Continuous Uniform Distribution
連続一様分布 $\mathrm{U} \left(0,1\right)$ からの無作為標本 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} について、 $i$ 番目の順序統計量 $X_{ \left(i\right)}$ は、ベータ分布 \begin{gather} \mathrm{Be} \left(i,n-i+1\right) \end{gather} に従い、 期待値と分散は、 \begin{gather} E \left[X_{ \left(i\right)}\right]=\frac{i}{n+1}\\ V \left[X_{ \left(i\right)}\right]=\frac{i \left(n-i+1\right)}{ \left(n+1\right)^2 \left(n+2\right)} \end{gather} また、標本範囲と標本中点の同時確率密度関数は、 \begin{align} f_{r,t} \left(r,t\right)= \left\{\begin{matrix}n \left(n-1\right)r^{n-2}&0 \lt r \lt 1,\frac{r}{2} \lt t \lt 1-\frac{r}{2}\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられ、 標本中点の確率密度関数は、 \begin{align} f_t \left(t\right)= \left\{\begin{matrix}n \left(2t\right)^{n-1}&0 \lt t \lt \frac{1}{2}\\n2^{n-1} \left(1-t\right)^{n-1}&\frac{1}{2} \le t \lt 1\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。
証明
連続一様分布 $\mathrm{U} \left(0,1\right)$ の累積分布関数と確率密度関数は、
\begin{align}
f \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}1&0 \le x \le 1\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right.
\end{align}
\begin{align}
F \left(x\right)= \left\{\begin{matrix}0&x \lt a\\x&0 \le x \le 1\\1&b \lt x\\\end{matrix}\right.
\end{align}
順序統計量の確率密度関数の公式より、
\begin{align}
g_i \left(x\right)&=\frac{n!}{ \left(i-1\right)! \left(n-i\right)!}x^{i-1} \cdot \left(1-x\right)^{n-i} \cdot 1\\
&=\frac{\Gamma \left(i+n-i+1\right)}{\Gamma \left(i\right) \cdot \Gamma \left(n-i+1\right)}x^{i-1} \cdot \left(1-x\right)^{n-i}\\
&=\frac{\Gamma \left(n+1\right)}{\Gamma \left(i\right) \cdot \Gamma \left(n-i+1\right)}x^{i-1} \cdot \left(1-x\right)^{n-i}\\
&=\frac{1}{B \left(i,n-i+1\right)}x^{i-1} \cdot \left(1-x\right)^{n-i}
\end{align}
これは、ベータ分布
\begin{gather}
\mathrm{Be} \left(i,n-i+1\right)
\end{gather}
の確率密度関数である。
したがって、ベータ分布の期待値と分散の公式より、
\begin{gather}
E \left[X_{ \left(i\right)}\right]=\frac{i}{n+1}\\
V \left[X_{ \left(i\right)}\right]=\frac{i \left(n-i+1\right)}{ \left(n+1\right)^2 \left(n+2\right)}
\end{gather}
標本範囲と標本中点の取り得る値の範囲は、
\begin{align}
\left\{\begin{matrix}0 \lt x_1 \lt 1\\0 \lt x_n \lt 1\\\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}0 \lt r \lt 1\\0 \lt t \lt 1\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$0 \lt x_1 \lt 1,x_1=\frac{2t-r}{2}$ より、
\begin {gather}
0 \lt \frac{2t-r}{2} \lt 1\\
0 \lt 2t-r \lt 2\\
r \lt 2t \lt 2+r\\
\frac{r}{2} \lt t \lt 1+\frac{r}{2}
\end {gather}
$0 \lt x_n \lt 1,x_n=\frac{2t+r}{2}$ より、
\begin {gather}
0 \lt \frac{2t+r}{2} \lt 1\\
0 \lt 2t+r \lt 2\\
-r \lt 2t \lt 2-r\\
-\frac{r}{2} \lt t \lt 1-\frac{r}{2}
\end {gather}
したがって、共通部分は、
\begin {gather}
\frac{r}{2} \lt t \lt 1-\frac{r}{2}
\end {gather}
標本範囲と標本中点の同時確率密度関数の公式より、$0 \lt r \lt 1,\frac{r}{2} \lt t \lt 1-\frac{r}{2}$ のとき、
\begin{align}
f_{r,t} \left(r,t\right)&=n \left(n-1\right) \left(t+\frac{r}{2}-t+\frac{r}{2}\right)^{n-2}1 \cdot 1\\
&=n \left(n-1\right)r^{n-2}
\end{align}
周辺確率密度関数の定義式 $f_t \left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{r,t} \left(r,t\right)dr}$ より、標本中点の確率密度関数は、
（i）$0 \lt t \lt \frac{1}{2}$ のとき
\begin{align}
f_t \left(t\right)&=\int_{0}^{2t}{n \left(n-1\right)r^{n-2}dr}\\
&= \left[nr^{n-1}\right]_0^{2t}\\
&=n \left(2t\right)^{n-1}
\end{align}
（ii）$\frac{1}{2} \le t \lt 1$ のとき
\begin{align}
f_t \left(t\right)&=\int_{0}^{2 \left(1-t\right)}{n \left(n-1\right)r^{n-2}dr}\\
&= \left[nr^{n-1}\right]_0^{2 \left(1-t\right)}\\
&=n2^{n-1} \left(1-t\right)^{n-1}
\end{align}
したがって、
\begin{align}
f_t \left(t\right)= \left\{\begin{matrix}n \left(2t\right)^{n-1}&0 \lt t \lt \frac{1}{2}\\n2^{n-1} \left(1-t\right)^{n-1}&\frac{1}{2} \le t \lt 1\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.174-175
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