連続一様分布の順序統計量の分布の導出

連続一様分布 $\mathrm{U}(0,1)$ の累積分布関数と確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}1& 0\le x\le 1\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ $$\begin{array}{r}F\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}0& x<a\\ x& 0\le x\le 1\\ 1& b<x\end{array}\end{array}$$ 順序統計量の確率密度関数の公式より、 $$\begin{array}{rl}{g}_i\left(x\right)& =\frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}{x}^{i-1}\cdot {(1-x)}^{n-i}\cdot 1\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(i+n-i+1)}{\mathrm{\Gamma }\left(i\right)\cdot \mathrm{\Gamma }(n-i+1)}{x}^{i-1}\cdot {(1-x)}^{n-i}\\ & =\frac{\mathrm{\Gamma }(n+1)}{\mathrm{\Gamma }\left(i\right)\cdot \mathrm{\Gamma }(n-i+1)}{x}^{i-1}\cdot {(1-x)}^{n-i}\\ & =\frac{1}{B(i,n-i+1)}{x}^{i-1}\cdot {(1-x)}^{n-i}\end{array}$$ これは、ベータ分布 $$\begin{array}{c}\mathrm{Be}(i,n-i+1)\end{array}$$ の確率密度関数である。 したがって、ベータ分布の期待値と分散の公式より、 $$\begin{array}{c}E\left[X_{\left(i\right)}\right]=\frac{i}{n+1}\\ V\left[X_{\left(i\right)}\right]=\frac{i(n-i+1)}{{(n+1)}^2(n+2)}\end{array}$$ 標本範囲と標本中点の取り得る値の範囲は、 $$\begin{array}{r}\{\begin{array}{c}0<x_1<1\\ 0<x_n<1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}0<r<1\\ 0<t<1\end{array}\end{array}$$ $0<x_1<1,x_1=\frac{2t-r}{2}$ より、 $$\begin{array}{c}0<\frac{2t-r}{2}<1\\ 0<2t-r<2\\ r<2t<2+r\\ \frac{r}{2}<t<1+\frac{r}{2}\end{array}$$ $0<x_n<1,x_n=\frac{2t+r}{2}$ より、 $$\begin{array}{c}0<\frac{2t+r}{2}<1\\ 0<2t+r<2\\ -r<2t<2-r\\ -\frac{r}{2}<t<1-\frac{r}{2}\end{array}$$ したがって、共通部分は、 $$\begin{array}{c}\frac{r}{2}<t<1-\frac{r}{2}\end{array}$$ 標本範囲と標本中点の同時確率密度関数の公式より、$0<r<1,\frac{r}{2}<t<1-\frac{r}{2}$ のとき、 $$\begin{array}{rl}{f}_{r,t}(r,t)& =n(n-1){(t+\frac{r}{2}-t+\frac{r}{2})}^{n-2}1\cdot 1\\ & =n(n-1)r^{n-2}\end{array}$$ 周辺確率密度関数の定義式 $f_t\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{r,t}(r,t)dr$ より、標本中点の確率密度関数は、
（i）$0<t<\frac{1}{2}$ のとき $$\begin{array}{rl}{f}_t\left(t\right)& ={\int }_0^{2t}n(n-1)r^{n-2}dr\\ & ={\left[n{r}^{n-1}\right]}_0^{2t}\\ & =n{\left(2t\right)}^{n-1}\end{array}$$ （ii）$\frac{1}{2}\le t<1$ のとき $$\begin{array}{rl}{f}_t\left(t\right)& ={\int }_0^{2(1-t)}n(n-1)r^{n-2}dr\\ & ={\left[n{r}^{n-1}\right]}_0^{2(1-t)}\\ & =n{2}^{n-1}{(1-t)}^{n-1}\end{array}$$ したがって、 $$\begin{array}{r}{f}_t\left(t\right)=\{\begin{array}{cc}n{\left(2t\right)}^{n-1}& 0<t<\frac{1}{2}\\ n{2}^{n-1}{(1-t)}^{n-1}& \frac{1}{2}\le t<1\end{array}\end{array}$$ $◼$