本稿では、標本範囲と標本中点の同時確率分布を導出しています。
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【命題】標本範囲と標本中点の同時確率分布
【命題】
標本範囲と標本中点の同時確率分布
Joint Distribution of Sample Range and Sample Midrange
累積分布関数 $F \left(x\right)$ と確率密度関数 $f \left(x\right)$ をもつ連続型確率分布からの無作為標本 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} について、 標本範囲と標本中点をそれぞれ \begin{gather} R=X_{ \left(n\right)}-X_{ \left(1\right)}\\ T=\frac{X_{ \left(n\right)}+X_{ \left(1\right)}}{2} \end{gather} とすると、 標本範囲と標本中点の同時確率密度関数は、 \begin{align} f_{r,t} \left(r,t\right)= \left\{\begin{matrix}n \left(n-1\right) \left\{F \left(t+\frac{r}{2}\right)-F \left(t-\frac{r}{2}\right)\right\}^{n-2}f \left(t-\frac{r}{2}\right)f \left(t+\frac{r}{2}\right)&0 \lt r\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。 また、標本範囲と標本中点の確率密度関数は、 \begin{gather} g \left(r\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{r,t} \left(r,t\right)dt}\\ h \left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{f_{r,t} \left(r,t\right)dr} \end{gather} で与えられる。
証明
最大値・最小値の同時確率密度関数の公式より、 \begin{align} f_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)= \left\{\ \begin{matrix}n \left(n-1\right) \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^{n-2}f \left(x_n\right)f \left(x_1\right)&x_1 \lt x_n\\0&x_1 \geq x_n\\\end{matrix}\right. \end{align} ここで、以下のように変数変換すると、 \begin{gather} \left\{\begin{matrix}r=x_n-x_1\\t=\displaystyle\frac{x_n+x_1}{2}\\\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_n=\displaystyle\frac{2t+r}{2}\\x_1=\displaystyle\frac{2t-r}{2}\\\end{matrix}\right.\\ 0 \lt x_n-x_1\Leftrightarrow0 \lt r \end{gather} 変数変換のヤコビアンは、 \begin{align} \left|J\right|&= \left|\ \begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\1&-\frac{1}{2}\\\end{matrix}\ \right|\\ &= \left|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right|\\ &=1 \end{align} 変数変換後の同時確率密度関数の公式 $k \left(r,t\right)=f \left\{x_n \left(r,t\right),x_1 \left(r,t\right)\right\} \left|J\right|$ より、 \begin{align} f_{r,t} \left(r,t\right)= \left\{\begin{matrix}n \left(n-1\right) \left\{F \left(t+\frac{r}{2}\right)-F \left(t-\frac{r}{2}\right)\right\}^{n-2}f \left(t-\frac{r}{2}\right)f \left(t+\frac{r}{2}\right)&0 \lt r\\0&\mathrm{other}\\\end{matrix}\right. \end{align} $\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.173-174
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