標本範囲と標本中点の同時確率分布の導出

累積分布関数 $F\left(x\right)$ と確率密度関数 $f\left(x\right)$ をもつ連続型確率分布からの無作為標本 $$\begin{array}{r}\mathit{X}=\{X_1,X_2,\cdots ,X_n\}\end{array}$$ について、 標本範囲と標本中点をそれぞれ $$\begin{array}{c}R=X_{\left(n\right)}-X_{\left(1\right)}\\ T=\frac{X_{\left(n\right)}+X_{\left(1\right)}}{2}\end{array}$$ とすると、 標本範囲と標本中点の同時確率密度関数は、 $$\begin{array}{r}{f}_{r,t}(r,t)=\{\begin{array}{cc}n(n-1){\{F(t+\frac{r}{2})-F(t-\frac{r}{2})\}}^{n-2}f(t-\frac{r}{2})f(t+\frac{r}{2})& 0<r\\ 0& \mathrm{other}\end{array}\end{array}$$ で与えられる。 また、標本範囲と標本中点の確率密度関数は、 $$\begin{array}{c}g\left(r\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{r,t}(r,t)dt\\ h\left(t\right)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_{r,t}(r,t)dr\end{array}$$ で与えられる。