本稿では、最大値・最小値の同時確率分布を導出しています。
なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。
- スマートフォンやタブレット端末でご覧の際、数式が見切れている場合は、横にスクロールすることができます。
【定理】最大値・最小値の同時確率分布
【定理】
最大値・最小値の同時確率分布
Joint Distribution of Maximum and Minimum Statistics
累積分布関数 $F \left(x\right)$ をもつ任意の確率分布（離散型・連続型いずれでもよい）からの無作為標本 \begin{align} \boldsymbol{X}= \left\{X_1,X_2, \cdots ,X_n\right\} \end{align} について、 同時累積分布関数は、 \begin{align} F_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)= \left\{\ \begin{matrix} \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n- \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^n&x_1 \lt x_n\\ \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n&x_1 \geq x_n\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。 また、連続型確率変数で確率密度関数 $f \left(x\right)$ をもつ場合、同時確率密度関数は、 \begin{align} f_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)= \left\{\ \begin{matrix}n \left(n-1\right) \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^{n-2}f \left(x_n\right)f \left(x_1\right)&x_1 \lt x_n\\0&x_1 \geq x_n\\\end{matrix}\right. \end{align} で与えられる。
証明
（I）同時累積分布関数
（i）$x_1 \lt x_n$ のとき
同時累積分布関数の定義式 $F \left(x,y\right)=P \left(X \le x,Y \le y\right)$ より、
\begin{align}
F_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)&=P \left[X_{ \left(1\right)} \le x_1,X_{ \left(n\right)} \le x_n\right]\\
&=P \left[X_{ \left(n\right)} \le x_n\right]-P \left[X_{ \left(n\right)} \le x_n,x_1 \lt X_{ \left(1\right)}\right]\\
&=F_{ \left(n\right)} \left(x_n\right)-P \left[x_1 \lt X_1 \le x_n, \cdots ,x_1 \lt X_n \le x_n\right]\\
&= \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n-P \left[x_1 \lt X_1 \le x_n\right] \cdots P \left[x_1 \lt X_n \le x_n\right]\\
&= \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n- \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^n
\end{align}
（ii）$x_1 \geq x_n$ のとき
すべての $X_{ \left(i\right)}$ について、$X_{ \left(i\right)} \le x_n$ なので、
\begin{align}
F_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)= \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n
\end{align}
したがって、
\begin{align}
F_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)= \left\{\ \begin{matrix} \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n- \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^n&x_1 \lt x_n\\ \left\{F \left(x_n\right)\right\}^n&x_1 \geq x_n\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
（II）連続型の場合の同時確率密度関数
同時累積分布関数と同時確率密度関数の関係 $f \left(x,y\right)=\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F \left(x,y\right)$ より、
（i）$x_1 \lt x_n$ のとき
$x_n$ で偏微分すると、
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x_n}F_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)=n \left\{F \left(x_n\right)\right\}^{n-1} \cdot f \left(x_n\right)-n \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^{n-1} \cdot f \left(x_n\right)
\end{align}
続いて、$x_1$ で偏微分すると、$F \left(x_n\right),f \left(x_n\right)$ を定数と考えて、
\begin{align}
f_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)&=-n \left(n-1\right) \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^{n-2} \cdot f \left(x_n\right) \cdot \left\{-f \left(x_1\right)\right\}\\
&=n \left(n-1\right) \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^{n-2} \cdot f \left(x_n\right) \cdot f \left(x_1\right)
\end{align}
（ii）$x_1 \geq x_n$ のとき
$x_n$ で偏微分すると、
\begin{align}
\frac{\partial}{\partial x_n}F_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)=n \left\{F \left(x_n\right)\right\}^{n-1} \cdot f \left(x_n\right)
\end{align}
続いて、$x_1$ で偏微分すると、$F \left(x_n\right),f \left(x_n\right)$ を定数と考えて、
\begin{align}
f_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)=0
\end{align}
したがって、
\begin{align}
f_{ \left(1,n\right)} \left(x_1,x_n\right)= \left\{\ \begin{matrix}n \left(n-1\right) \left\{F \left(x_n\right)-F \left(x_1\right)\right\}^{n-2}f \left(x_n\right)f \left(x_1\right)&x_1 \lt x_n\\0&x_1 \geq x_n\\\end{matrix}\right.
\end{align}
$\blacksquare$
参考文献
- 野田 一雄, 宮岡 悦良 著. 入門・演習数理統計. 共立出版, 1990, p.173
0 件のコメント:
コメントを投稿