二変量正規分布の期待値・分散・共分散の導出

（i）期待値
二変量正規分布のモーメント母関数の公式より、 \begin{align} M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)=\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\} \end{align} モーメント母関数の $\theta_1$ による1階微分を求めると、合成関数の微分法より、 \begin{align} \frac{\partial}{\partial\theta_1}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial\theta_1} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\}\\ &= \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right)\mathrm{exp} \left\{\theta_1\mu_X+\theta_2\mu_Y+\frac{1}{2} \left(\theta_1^2\sigma_X^2+2\rho\theta_1\theta_2\sigma_X\sigma_Y+\theta_2^2\sigma_Y^2\right)\right\} \end{align} 1次モーメントとモーメント母関数の関係 $\frac{\partial}{\partial\theta_1}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{0}\right)=E \left(X\right)$ より、 \begin{align} E \left(X\right)&= \left(\mu_X+0+0\right)\mathrm{exp} \left\{0+0+\frac{1}{2} \left(0+0+0\right)\right\}\\ &=\mu_X \end{align} $\blacksquare$

（ii）分散
モーメント母関数の $\theta_1$ による2階微分を求めると、積の微分公式と合成関数の微分法より、 \begin{align} \frac{\partial^2}{\partial\theta_1^2}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial\theta_1} \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right)+ \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right) \cdot \frac{\partial}{\partial\theta_1}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \cdot \sigma_X^2+ \left(\mu_X+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y+2\theta_1\sigma_Y^2\right) \cdot \frac{\partial}{\partial\theta_1}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \end{align} 2次モーメントとモーメント母関数の関係 $\frac{\partial^2}{\partial\theta_1^2}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{0}\right)=E \left(X^2\right)$ より、 \begin{align} E \left(X^2\right)&=\mathrm{exp} \left\{0+0+\frac{1}{2} \left(0+0+0\right)\right\} \cdot \sigma_X^2+ \left(\mu_X+0+0\right) \cdot \mu_X\\ &=\mu_X^2+\sigma_X^2 \end{align} 分散の公式 $V \left(X\right)=E \left(X^2\right)- \left\{E \left(X\right)\right\}^2$ より、 \begin{align} V \left(X\right)=\mu_X^2+\sigma_X^2-\mu_X^2=\sigma_X^2 \end{align} $\blacksquare$

（iii）共分散
モーメント母関数を $\theta_1,\theta_2$ で1回ずつ微分すると、合成関数の微分法より、 \begin{align} \frac{\partial^2}{\partial\theta_1\partial\theta_2}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)&=M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial\theta_2} \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right)+ \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right) \cdot \frac{\partial}{\partial\theta_2}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \cdot \left(\rho\sigma_X\sigma_Y\right)+ \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right) \cdot \left(\mu_Y+\rho\theta_1\sigma_X\sigma_Y+\theta_2\sigma_Y^2\right) \cdot M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right)\\ &=M_{X,Y} \left(\boldsymbol{\theta}\right) \cdot \left\{\rho\sigma_X\sigma_Y+ \left(\mu_X+\theta_1\sigma_X^2+\rho\theta_2\sigma_X\sigma_Y\right) \cdot \left(\mu_Y+\rho\theta_1\sigma_X\sigma_Y+\theta_2\sigma_Y^2\right)\right\} \end{align} 積の期待値とモーメント母関数の関係 $\frac{\partial^2}{\partial\theta_1\partial\theta_2}M_{X,Y} \left(\boldsymbol{0}\right)=E \left(XY\right)$ より、 \begin{align} E \left(XY\right)&=\mathrm{exp} \left\{0+0+\frac{1}{2} \left(0+0+0\right)\right\} \cdot \left\{\rho\sigma_X\sigma_Y+ \left(\mu_X+0+0\right) \cdot \left(\mu_Y+0+0\right)\right\}\\ &=\rho\sigma_X\sigma_Y+\mu_X\mu_Y \end{align} 共分散の公式 $\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=E \left(XY\right)-E \left(X\right)E \left(Y\right)$ より、 \begin{align} \mathrm{Cov} \left(X,Y\right)=\rho\sigma_X\sigma_Y+\mu_X\mu_Y-\mu_X\mu_Y =\rho\sigma_X\sigma_Y \end{align} 相関係数の定義式 $\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov} \left(X,Y\right)}{\sigma_X\sigma_Y}$ より、 \begin{align} \rho_{XY}=\frac{\rho\sigma_X\sigma_Y}{\sigma_X\sigma_Y}=\rho \end{align} $\blacksquare$