関数の近似

本稿では、関数の近似（テイラーの定理・テイラー展開など）を紹介しています。

なお、閲覧にあたっては、以下の点にご注意ください。

多項式に関するテイラーの定理

テイラーの定理

証明

整級数展開

関数 $f\left(x\right)$ が任意の点 $x=a$ を含むある区間の近くで何回でも微分可能な関数とすると、テイラーの定理により、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}{(x-a)}^k+R_n\\ R_n=\frac{f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}{(x-a)}^n\end{array}$$ とすることができる。 ここでもし、ラグランジュの剰余項が $$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{R}_n=0\end{array}$$ となれば、 関数 $f\left(x\right)$ は無限級数として、 $$\begin{array}{}\text{(1)}& f\left(x\right)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}{(x-a)}^k\end{array}$$ と表すことができる。

一般に、定数 $a_0,a_1,\cdots ,a_n,\cdots$ と変数 $x$ によって、 $$\begin{array}{c}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n=a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n+\cdots \end{array}$$ の形で表される 無限級数は、$x$ の整級数 power series、またはべき級数と呼ばれる。もし、関数 $f\left(x\right)$ が式 $(1)$ のように無限級数で表すことができれば、これを関数 $f$ の $a$ の周りの整級数展開 power series expansion、べき級数展開、テイラー展開 Taylor expansion といい、この級数をテイラー級数 Taylor series という。

特に、$x=0$ においてテイラー展開する場合、 $$\begin{array}{c}f\left(x\right)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}{x}^k+R_n\\ R_n=\frac{f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}{x}^n\end{array}$$ となり、 同様にラグランジュの剰余項が0に収束するとき、 $$\begin{array}{}\text{(2)}& f\left(x\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{k!}{x}^n\end{array}$$ と表すことができる。 これをマクローリン展開 Maclaurin expansion、級数をマクローリン級数 Maclaurin series ということがあある。

主な関数の整級数展開

参考文献

• 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.955-976
• 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.98-103
• テイラーの定理の例と証明. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1001.
• マクローリン展開. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/570.

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