本稿では、関数の近似（テイラーの定理・テイラー展開など）を紹介しています。
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多項式に関するテイラーの定理
【定理】
多項式に関するテイラーの定理
Taylor's Series of a Polynomial
$P \left(x\right)$ を $n$ 次の多項式、$a$ を定数とするとき、$P \left(x\right)$ を $x-a$ の多項式として \begin{gather} P \left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{P^{ \left(k\right)} \left(a\right)}{k!} \left(x-a\right)^k} \end{gather} と表すことができる。
テイラーの定理
【定理】
テイラーの定理
Taylor's Theorem
関数 $f \left(x\right)$ が閉区間 $ \left[a,b\right]$ を含むある区間で $n$ 回微分可能であり、 \begin{gather} P_{n-1} \left(x\right)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{ \left(k\right)} \left(a\right)}{k!} \left(x-a\right)^k} \end{gather} とおくとき \begin{gather} f \left(b\right)=P_{n-1} \left(b\right)+R_n\\ R_n=\frac{f^{ \left(n\right)} \left(c\right)}{n!} \left(b-a\right)^n \end{gather} を満たす $c \left(a \lt c \lt b\right)$ が存在する。 ここで、最終項をラグランジュの剰余項という。
証明
ラグランジュの剰余項を \begin{gather} R_n=\frac{K}{n!} \left(b-a\right)^n \end{gather} また、 \begin{gather} f \left(b\right)=P_{n-1} \left(b\right)+\frac{K}{n!} \left(b-a\right)^n\tag{P1} \end{gather} とおき、 $a$ を変数 $x$ に置き換えて、次の差関数 \begin{gather} F \left(x\right)=f \left(b\right)- \left\{P_{n-1} \left(b\right)+\frac{K}{n!} \left(b-x\right)^n\right\}\tag{P2} \end{gather} を作る。 このとき、$F \left(x\right)$ は、区間 $ \left[a,b\right]$ で連続であり、区間 $ \left(a,b\right)$ で微分可能な関数である。
式 $(P2)$ に $x=b$ を代入すると、 \begin{align} F \left(b\right)&=f \left(b\right)- \left\{f \left(b\right)-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac{f^{ \left(k\right)} \left(b\right)}{k!} \left(b-b\right)^k}+\frac{K}{n!} \left(b-b\right)^n\right\}\\ &=f \left(b\right)-f \left(b\right)\\ &=0 \end{align} 式 $(P2)$ に $x=a$ を代入すると、式 $(1)$ より、 \begin{align} F \left(a\right)&=f \left(b\right)- \left\{P_{n-1} \left(b\right)+\frac{K}{n!} \left(b-a\right)^n\right\}\\ &=f \left(b\right)-f \left(b\right)\\ &=0 \end{align} よって、ロルの定理から、 \begin{gather} F^\prime \left(c\right)=0 \quad a \lt c \lt b \end{gather} を満たす $c$ が存在する。 式 $(2)$ より、 \begin{gather} F \left(x\right)=f \left(b\right)-f \left(x\right)-f^\prime \left(x\right) \left(b-x\right)-\frac{f^{\prime\prime} \left(x\right)}{2!} \left(b-x\right)^2- \cdots +\frac{f^{ \left(n-1\right)} \left(x\right)}{ \left(n-1\right)!} \left(b-x\right)^{n-1}-\frac{K}{n!} \left(b-x\right)^n \end{gather} この両辺を $x$ で微分して、 \begin{align} F^\prime \left(x\right)&=- \left\{f^\prime \left(x\right)-f^\prime \left(x\right)\right\}- \left\{f^{\prime\prime} \left(x\right) \left(b-x\right)-2 \cdot \frac{f^{\prime\prime} \left(x\right)}{2!} \left(b-x\right)\right\}- \cdots - \left\{\frac{f^{ \left(n\right)} \left(x\right)}{ \left(n-1\right)!} \left(b-x\right)^{n-1}-\frac{K}{ \left(n-1\right)!} \left(b-x\right)^{n-1}\right\}\\ &=-\frac{f^{ \left(n\right)} \left(x\right)}{ \left(n-1\right)!} \left(b-x\right)^{n-1}+\frac{K}{ \left(n-1\right)!} \left(b-x\right)^{n-1} \end{align} $F^\prime \left(c\right)=0$ を満たす $c$ が存在するので、 \begin{gather} F^\prime \left(c\right)=-\frac{ \left(b-c\right)^{n-1}}{ \left(n-1\right)!} \left\{f^{ \left(n\right)} \left(c\right)-K\right\}=0 \end{gather} ここで、$c \lt b.n=1,2,3, \cdots $ なので、$\frac{ \left(b-c\right)^{n-1}}{ \left(n-1\right)!} \neq 0$ だから、 \begin{gather} f^{ \left(n\right)} \left(c\right)-K=0\\ K=f^{ \left(n\right)} \left(c\right) \end{gather} 以上より、テイラーの定理 \begin{gather} f \left(b\right)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{ \left(k\right)} \left(a\right)}{k!} \left(x-a\right)^k}+R_n\\ R_n=\frac{f^{ \left(n\right)} \left(c\right)}{n!} \left(b-a\right)^n \end{gather} が成り立つ。 $\blacksquare$
整級数展開
関数 $f \left(x\right)$ が任意の点 $x=a$ を含むある区間の近くで何回でも微分可能な関数とすると、テイラーの定理により、 \begin{gather} f \left(x\right)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{ \left(k\right)} \left(a\right)}{k!} \left(x-a\right)^k}+R_n\\ R_n=\frac{f^{ \left(n\right)} \left(c\right)}{n!} \left(x-a\right)^n \end{gather} とすることができる。 ここでもし、ラグランジュの剰余項が \begin{gather} \lim_{n\rightarrow\infty}{R_n}=0 \end{gather} となれば、 関数 $f \left(x\right)$ は無限級数として、 \begin{gather} f \left(x\right)=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{f^{ \left(k\right)} \left(a\right)}{k!} \left(x-a\right)^k}\tag{1} \end{gather} と表すことができる。
一般に、定数 $a_0,a_1, \cdots ,a_n, \cdots $ と変数 $x$ によって、 \begin{gather} \sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}=a_0+a_1x+ \cdots +a_nx^n+ \cdots \end{gather} の形で表される 無限級数は、$x$ の整級数 power series、またはべき級数と呼ばれる。もし、関数 $f \left(x\right)$ が式 $(1)$ のように無限級数で表すことができれば、これを関数 $f$ の $a$ の周りの整級数展開 power series expansion、べき級数展開、テイラー展開 Taylor expansion といい、この級数をテイラー級数 Taylor series という。
特に、$x=0$ においてテイラー展開する場合、 \begin{gather} f \left(x\right)=\sum_{k=0}^{n-1}{\frac{f^{ \left(k\right)} \left(a\right)}{k!}x^k}+R_n\\ R_n=\frac{f^{ \left(n\right)} \left(c\right)}{n!}x^n \end{gather} となり、 同様にラグランジュの剰余項が0に収束するとき、 \begin{gather} f \left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{f^{ \left(n\right)} \left(a\right)}{k!}x^n}\tag{2} \end{gather} と表すことができる。 これをマクローリン展開 Maclaurin expansion、級数をマクローリン級数 Maclaurin series ということがあある。
主な関数の整級数展開
【公式】
主な関数の整級数展開
Maclaurin Series Formula
指数関数 \begin{gather} e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \quad -\infty \lt x \lt \infty \end{gather} 逆数関数 \begin{gather} \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n \quad -1 \lt x \lt 1 \end{gather} 対数関数 \begin{gather} \log{ \left(1+x\right)}=\sum_{n=0}^{\infty}{ \left(-1\right)^{n+1}\frac{x^n}{n}} \quad -1 \le x \le 1 \end{gather}
参考文献
- 松坂 和夫 著. 数学読本 5. 新装版, 岩波書店, 2019, p.955-976
- 馬場 敬之 著. 微分積分キャンパス・ゼミ. 改訂6, マセマ出版社, 2019, p.98-103
- テイラーの定理の例と証明. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/1001.
- マクローリン展開. 高校数学の美しい物語. 2021-03-07. https://manabitimes.jp/math/570.
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